| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.4.12.$ Тело влетает горизонтально со скоростью $v$ в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью $u$. Определите скорость тела после $n$-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками $L$. Удары абсолютно упругие. | | $1.4.12.$ Тело влетает горизонтально со скоростью $v$ в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью $u$. Определите скорость тела после $n$-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками $L$. Удары абсолютно упругие. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Рассмотрим, как изменяется скорость $v_x$ вдоль горизонтальной оси $Ox$ | | Рассмотрим, как изменяется скорость $v_x$ вдоль горизонтальной оси $Ox$ |
| | | |
| Когда тело летит на правую стенку, $v_x = v$. Далее, после упругого соударения скорость меняется на $v_x = v - 2u$. Более подробно почему происходит именно так см. [1.4.9](../1.4.9). | | Когда тело летит на правую стенку, $v_x = v$. Далее, после упругого соударения скорость меняется на $v_x = v - 2u$. Более подробно почему происходит именно так см. [1.4.9](../1.4.9). |
| | | |
| Аналогично, после соударения о левую стенку $v_x$ станет равной | | Аналогично, после соударения о левую стенку $v_x$ станет равной |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_x = (v - 2u) + 2u = v | | v_x = (v - 2u) + 2u = v |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Таким образом, всегда после соударения о правую стенку, скорость $v_x$ будет равна $v - 2u$ | | Таким образом, всегда после соударения о правую стенку, скорость $v_x$ будет равна $v - 2u$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_x = v - 2u | | v_x = v - 2u |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А время между $n$ и $n-1$ соударением | | А время между $n$ и $n-1$ соударением |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_n - t_{n-1} = \frac{L}{v - 2u} + \frac{L}{v} | | t_n - t_{n-1} = \frac{L}{v - 2u} + \frac{L}{v} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_n - t_{n-1} = L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)} | | t_n - t_{n-1} = L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. в вертикальной плоскости соударения отсутсвуют, то скорость $v_y$ зависит от времени $t$ как | | Т.к. в вертикальной плоскости соударения отсутсвуют, то скорость $v_y$ зависит от времени $t$ как |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y = gt | | v_y = gt |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А в общем случае: | | А в общем случае: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y = g(2n-1)(t_n - t_{n-1}) | | v_y = g(2n-1)(t_n - t_{n-1}) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \fbox{$v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$} | | \fbox{$v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$} |
| $$ | | $$ |
| | | |
