| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется? | | $2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется? |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда | | Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt} | | N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Распишем силу трения в этот момент: | | Распишем силу трения в этот момент: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt} | | F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так как $dt$ бесконечно малая величина, то | | Так как $dt$ бесконечно малая величина, то |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt} | | N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ | | Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (горизонтальная проекция импульса пули) | | (горизонтальная проекция импульса пули) |
| | | |
| Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы | | Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| p_1 > \Delta p | | p_1 > \Delta p |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha | | mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения | | таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g | | F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: | | Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p | | F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}} | | t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}} | | \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$ | | $t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$ |
| | | |
| при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется | | при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется |