Edit to “Альтернативное решение”
ru/1.2.8.md
+1 −1
| ### Условие: | |||
| $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | |||
| ### Решение: | |||
| Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | |||
| $$ | |||
| t_1 = \frac{L}{v_0} | |||
| t_2 = \frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Общее время: | |||
| $$ | |||
| \tau=t_1+t_2=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Выразим $v_0$ | |||
| $$ | |||
| v_0 = \frac{\tau\pm\sqrt{\tau^2-4\frac{l}{a}}}{2}a | |||
| $$ | |||
| Найдем минимально возможное не отрицательное $\tau$ | |||
| $$ | |||
| \tau^2-4\frac{l}{a}=0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \tau = 4\sqrt{\frac{L}{a}} | |||
| $$ | |||
| Подставим $\tau$ и найдем $v_0$ | |||
| $$ | |||
| v_0=\sqrt{La} | |||
| $$ | |||
| ### Альтернативное решение | |||
| Общее время: | |||
| $$ | |||
| \tau=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | |||
| $$ | |||
| \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} \geq 2\sqrt{La} | |||
| @@ -47,7 +47,7 @@Альтернативное решение | |||
| $$ | |||
| Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | |||
| $$ | |||
| − | \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{ | ||
| + | \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} | ||
| $$ | |||
| Решая уравнение, мы получим: | |||
| $$ | |||
| v_0 = \sqrt{La} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: $v_0 = \sqrt{La}$. | |||
| unchanged lines 3 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | ||
| $$ | $$ | ||
| t_1 = \frac{L}{v_0} | t_1 = \frac{L}{v_0} | ||
| t_2 = \frac{v_0}{a} | t_2 = \frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Общее время: | Общее время: | ||
| $$ | $$ | ||
| \tau=t_1+t_2=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | \tau=t_1+t_2=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Выразим $v_0$ | Выразим $v_0$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0 = \frac{\tau\pm\sqrt{\tau^2-4\frac{l}{a}}}{2}a | v_0 = \frac{\tau\pm\sqrt{\tau^2-4\frac{l}{a}}}{2}a | ||
| $$ | $$ | ||
| Найдем минимально возможное не отрицательное $\tau$ | Найдем минимально возможное не отрицательное $\tau$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \tau^2-4\frac{l}{a}=0 | \tau^2-4\frac{l}{a}=0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \tau = 4\sqrt{\frac{L}{a}} | \tau = 4\sqrt{\frac{L}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим $\tau$ и найдем $v_0$ | Подставим $\tau$ и найдем $v_0$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0=\sqrt{La} | v_0=\sqrt{La} | ||
| $$ | $$ | ||
| ### Альтернативное решение | ### Альтернативное решение | ||
| Общее время: | Общее время: | ||
| $$ | $$ | ||
| \tau=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | \tau=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} \geq 2\sqrt{La} | \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} \geq 2\sqrt{La} | ||
| @@ -47,7 +47,7 @@Альтернативное решение | |||
| $$ | $$ | ||
| Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{ |
\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Решая уравнение, мы получим: | Решая уравнение, мы получим: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0 = \sqrt{La} | v_0 = \sqrt{La} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: $v_0 = \sqrt{La}$. | #### Ответ: $v_0 = \sqrt{La}$. | ||
| unchanged lines 3 | |||