Edit to “Решение”
ru/1.2.8.md
+2 −0
| ### Условие: | |||
| $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | |||
| ### Решение: | |||
| Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | |||
| @@ -8,6 +8,8 @@Решение: | |||
| $$ | |||
| t_1 = \\frac{L}{v_0} | |||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| t_2 = \\frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Общее время: | |||
| $$ | |||
| \\tau=t_1+t_2=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Выразим $v_0$ | |||
| $$ | |||
| v_0 = \\frac{a\\tau\\pm\\sqrt{\\tau^2-4\\frac{l}{a}}}{2}a | |||
| $$ | |||
| Найдем минимально возможное не отрицательное $\\tau$ | |||
| $$ | |||
| \\tau^2-4\\frac{l}{a}=0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \\tau = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | |||
| $$ | |||
| Подставим $\\tau$ и найдем $v_0$ | |||
| $$ | |||
| v_0= \\frac{2a\\sqrt{\\dfrac{L}{a}}\\pm\\sqrt0}{2}=\\sqrt{La} | |||
| $$ | |||
| ### Альтернативное решение | |||
| Общее время: | |||
| $$ | |||
| \\tau=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | |||
| $$ | |||
| Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | |||
| $$ | |||
| \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} \\geq 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | |||
| $$ | |||
| Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | |||
| $$ | |||
| \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | |||
| $$ | |||
| Решая уравнение, мы получим: | |||
| $$ | |||
| v_0 = \\sqrt{La} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: $v_0 = \\sqrt{La}$. | |||
| unchanged lines 45 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | $1.2.8^{∗}.$ Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением: | ||
| @@ -8,6 +8,8 @@Решение: | |||
| $$ | $$ | ||
| t_1 = \\frac{L}{v_0} | t_1 = \\frac{L}{v_0} | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| t_2 = \\frac{v_0}{a} | t_2 = \\frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Общее время: | Общее время: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\tau=t_1+t_2=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | \\tau=t_1+t_2=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Выразим $v_0$ | Выразим $v_0$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0 = \\frac{a\\tau\\pm\\sqrt{\\tau^2-4\\frac{l}{a}}}{2}a | v_0 = \\frac{a\\tau\\pm\\sqrt{\\tau^2-4\\frac{l}{a}}}{2}a | ||
| $$ | $$ | ||
| Найдем минимально возможное не отрицательное $\\tau$ | Найдем минимально возможное не отрицательное $\\tau$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \\tau^2-4\\frac{l}{a}=0 | \\tau^2-4\\frac{l}{a}=0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \\tau = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | \\tau = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим $\\tau$ и найдем $v_0$ | Подставим $\\tau$ и найдем $v_0$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0= \\frac{2a\\sqrt{\\dfrac{L}{a}}\\pm\\sqrt0}{2}=\\sqrt{La} | v_0= \\frac{2a\\sqrt{\\dfrac{L}{a}}\\pm\\sqrt0}{2}=\\sqrt{La} | ||
| $$ | $$ | ||
| ### Альтернативное решение | ### Альтернативное решение | ||
| Общее время: | Общее время: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\tau=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | \\tau=\\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} | ||
| $$ | $$ | ||
| Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} \\geq 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} \\geq 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | \\frac{L}{v_0}+\\frac{v_0}{a} = 2\\sqrt{\\frac{L}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Решая уравнение, мы получим: | Решая уравнение, мы получим: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0 = \\sqrt{La} | v_0 = \\sqrt{La} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: $v_0 = \\sqrt{La}$. | #### Ответ: $v_0 = \\sqrt{La}$. | ||
| unchanged lines 45 | |||