Edits to “Условие”, “Решение”, “Пункт a”

igor edited
View solution History
revision #17928 parent #17927 ← older newer →
ru/3.4.3.md +73 −2
@@ -1,11 +1,82 @@
### Условие
−$3.4.3.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?
+б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.
+
+
### Решение
−123
+
+#### Пункт a
+
+Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.
+
+После сообщение указанной скорости можем записать
+
+$$
+x=A\cos\omega t,
+\quad
+y=B\sin\omega t,
+$$
+
+где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.
+
+Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем
+
+$$
+\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
+$$
+
+Это — уравнение эллипса.
+
+Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что
+
+$$
+\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
+$$
+
+Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.
+
+Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.
+
+
+#### Пункт б$^*$
+
+В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:
+
+$$
+y=B\sin\omega t.
+$$
+
+А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.
+
+$$
+x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
+$$
+
+Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:
+
+$$
+x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)
+$$
+
+Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:
+
+$$
+x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
+$$
+
+Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем
+
+$$
+\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
+$$
+
+
+
+
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]