Edits to “Пункт б”, “Литература”

igor edited Jun 1, 2026, 12:05 PM

View solution History

revision #18176 parent #17933 ← older

ru/3.4.3.md +5 −14

			### Условие

			$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?

			б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.


			### Решение


			#### Пункт a

			Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.

			После сообщение указанной скорости можем записать

			$$
			x=A\cos\omega t,
			\quad
			y=B\sin\omega t,
			$$

			где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.

			Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем

			$$
			\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
			$$

			Это — уравнение эллипса.

			Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что

			$$
			\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
			$$

			Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.

			Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.


			#### Пункт б$^*$

			В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:

			$$
			y=B\sin\omega t.
			$$

			А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.

			$$
			x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
			$$

			Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:

			$$
			x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)
			$$

			Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:

			$$
			x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
			$$

			Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем

			$$
			\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
			$$

			C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле:

			$$
			x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}.
			$$

			Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:

			$$
			\left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2.
			$$

			Приведем это к такой форме пока:

			$$
			x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$}
			$$

			Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].

			Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса

			$$
			\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
			$$

			где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.

			Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:

			$$
			\begin{gathered}
			x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\
			y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
			\end{gathered}\tag{2}
			$$

			где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).

			Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем

			$$
			x^2C+y^2D-2xyE-F=0
			$$

			где

			$$
			\begin{gathered}
			C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
			D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\
			E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\
			F=a^2b^2.
			\end{gathered}\tag{3}
			$$

			Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $()$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $()$, запишем

			$$
			\begin{gathered}
			B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
			A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha.
			\end{gathered}\tag{4}
			$$


			Отсюда найдем полуось $a$:

			$$
			a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
			$$

			Из системы $(4)$ также

			$$
			b^2=B^2+A^2-a^2,
			$$

			отсюда полуось $b$:

			$$
		@@ -157,6 +157,8 @@Пункт б$^*$
			b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
			$$

		+	В этих выражениях $B=v/\omega$.
		+
			Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.

			Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:

			$$
			B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha,
			$$

		@@ -168,30 +170,19 @@Пункт б$^*$
			откуда решая:

			$$
		−	\cos^2\alpha=\frac{~~A^2~~}{\pm\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}+1
		+	\cos^2\alpha=\frac{1}{2}+\frac{A^2-B^2}{\pm2\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}.
			$$

		−	Поскольку $\cos^2\alpha$ не больше единицы, то возможное решение с «нижним знаком». Поэтому решения для полуосей ограничиваются:
		+	Это выражение окажется полезным для задачи $3.4.5$, скажем заранее. Подумайте, что означают знаки «$\pm$» в формулах для полуосей.

		−	$$
		−	a^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2-\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}
		−	$$

		−	и
		−
		−	$$
		−	b^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2+\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)},
		−	$$
		−
		−	где $B=v/\omega$.
		−
			#### Литература

			[1] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.

			[2] ["Описать повернутый эллипс"](https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2487913.html). cyberforum.ru.

		−	[3] Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.
		+	[3] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

			#### Ответ

			а. Траектория — эллипс с полуосями $A$ и $v/\omega$. Пределы изменения расстояния от $v/\omega$ до $A$.

			б$^*$. Траектория — эллипс с полуосями

			$$
			\sqrt{\frac{1}{2}\left(A^2+\frac{v^2}{\omega^2}\pm\sqrt{\left(A^2+v^2/\omega^2\right)^2-4(\chi v/\omega)^2}\right)}.
			$$
		unchanged lines 7

	### Условие		### Условие

	$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?		$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?

	б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.		б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.


	### Решение		### Решение


	#### Пункт a		#### Пункт a

	Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.		Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.

	После сообщение указанной скорости можем записать		После сообщение указанной скорости можем записать

	$$		$$
	x=A\cos\omega t,		x=A\cos\omega t,
	\quad		\quad
	y=B\sin\omega t,		y=B\sin\omega t,
	$$		$$

	где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.		где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.

	Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем		Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем

	$$		$$
	\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.		\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
	$$		$$

	Это — уравнение эллипса.		Это — уравнение эллипса.

	Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что		Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что

	$$		$$
	\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.		\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
	$$		$$

	Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.		Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.

	Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.		Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.


	#### Пункт б$^*$		#### Пункт б$^*$

	В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:		В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:

	$$		$$
	y=B\sin\omega t.		y=B\sin\omega t.
	$$		$$

	А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.		А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.

	$$		$$
	x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).		x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
	$$		$$

	Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:		Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:

	$$		$$
	x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)		x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)
	$$		$$

	Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:		Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:

	$$		$$
	x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.		x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
	$$		$$

	Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем		Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем

	$$		$$
	\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.		\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
	$$		$$

	C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле:		C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле:

	$$		$$
	x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}.		x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}.
	$$		$$

	Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:		Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:

	$$		$$
	\left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2.		\left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2.
	$$		$$

	Приведем это к такой форме пока:		Приведем это к такой форме пока:

	$$		$$
	x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$}		x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$}
	$$		$$

	Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].		Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].

	Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса		Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса

	$$		$$
	\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}		\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
	$$		$$

	где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.		где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.

	Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:		Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:

	$$		$$
	\begin{gathered}		\begin{gathered}
	x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\		x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\
	y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,		y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
	\end{gathered}\tag{2}		\end{gathered}\tag{2}
	$$		$$

	где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).		где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).

	Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем		Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем

	$$		$$
	x^2C+y^2D-2xyE-F=0		x^2C+y^2D-2xyE-F=0
	$$		$$

	где		где

	$$		$$
	\begin{gathered}		\begin{gathered}
	C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\		C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
	D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\		D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\
	E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\		E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\
	F=a^2b^2.		F=a^2b^2.
	\end{gathered}\tag{3}		\end{gathered}\tag{3}
	$$		$$

	Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $()$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $()$, запишем		Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $()$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $()$, запишем

	$$		$$
	\begin{gathered}		\begin{gathered}
	B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\		B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
	A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha.		A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha.
	\end{gathered}\tag{4}		\end{gathered}\tag{4}
	$$		$$


	Отсюда найдем полуось $a$:		Отсюда найдем полуось $a$:

	$$		$$
	a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.		a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
	$$		$$

	Из системы $(4)$ также		Из системы $(4)$ также

	$$		$$
	b^2=B^2+A^2-a^2,		b^2=B^2+A^2-a^2,
	$$		$$

	отсюда полуось $b$:		отсюда полуось $b$:

	$$		$$
	@@ -157,6 +157,8 @@Пункт б$^*$
	b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.		b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
	$$		$$

			В этих выражениях $B=v/\omega$.

	Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.		Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.

	Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:		Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:

	$$		$$
	B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha,		B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha,
	$$		$$

	@@ -168,30 +170,19 @@Пункт б$^*$
	откуда решая:		откуда решая:

	$$		$$
	\cos^2\alpha=\frac{~~A^2~~}{\pm\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}+1		\cos^2\alpha=\frac{1}{2}+\frac{A^2-B^2}{\pm2\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}.
	$$		$$

	Поскольку $\cos^2\alpha$ не больше единицы, то возможное решение с «нижним знаком». Поэтому решения для полуосей ограничиваются:		Это выражение окажется полезным для задачи $3.4.5$, скажем заранее. Подумайте, что означают знаки «$\pm$» в формулах для полуосей.

	$$
	a^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2-\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}
	$$

	и

	$$
	b^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2+\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)},
	$$

	где $B=v/\omega$.

	#### Литература		#### Литература

	[1] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.		[1] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.

	[2] ["Описать повернутый эллипс"](https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2487913.html). cyberforum.ru.		[2] ["Описать повернутый эллипс"](https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2487913.html). cyberforum.ru.

	[3] Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.		[3] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

	#### Ответ		#### Ответ

	а. Траектория — эллипс с полуосями $A$ и $v/\omega$. Пределы изменения расстояния от $v/\omega$ до $A$.		а. Траектория — эллипс с полуосями $A$ и $v/\omega$. Пределы изменения расстояния от $v/\omega$ до $A$.

	б$^*$. Траектория — эллипс с полуосями		б$^*$. Траектория — эллипс с полуосями

	$$		$$
	\sqrt{\frac{1}{2}\left(A^2+\frac{v^2}{\omega^2}\pm\sqrt{\left(A^2+v^2/\omega^2\right)^2-4(\chi v/\omega)^2}\right)}.		\sqrt{\frac{1}{2}\left(A^2+\frac{v^2}{\omega^2}\pm\sqrt{\left(A^2+v^2/\omega^2\right)^2-4(\chi v/\omega)^2}\right)}.
	$$		$$
	unchanged lines 7