| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия? | | $3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия? |
| | | |
| б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия. | | б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Пункт a | | #### Пункт a |
| | | |
| Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны. | | Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны. |
| | | |
| После сообщение указанной скорости можем записать | | После сообщение указанной скорости можем записать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=A\cos\omega t, | | x=A\cos\omega t, |
| \quad | | \quad |
| y=B\sin\omega t, | | y=B\sin\omega t, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$. | | где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$. |
| | | |
| Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем | | Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1. | | \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Это — уравнение эллипса. | | Это — уравнение эллипса. |
| | | |
| Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что | | Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1. | | \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$. | | Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$. |
| | | |
| Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$. | | Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$. |
| | | |
| | | |
| #### Пункт б$^*$ | | #### Пункт б$^*$ |
| | | |
| В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же: | | В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y=B\sin\omega t. | | y=B\sin\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$. | | А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right). | | x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]: | | Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right) | | x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$: | | Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | | x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем | | Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | | \sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле: | | C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}. | | x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать: | | Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrtB^2-y^2\right)^2. | | \left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrtB^2-y^2\right)^2. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Приведем это к такой форме пока: | | Приведем это к такой форме пока: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0. | | x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$. | | Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$. |
| | | |
| Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса | | Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1, | | \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$. | | где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$. |
| | | |
