$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?
б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.
### Решение
#### Пункт a
Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.
После сообщение указанной скорости можем записать
$$
x=A\cos\omega t,
\quad
y=B\sin\omega t,
$$
где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.
Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем
$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
$$
Это — уравнение эллипса.
Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что
$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
$$
Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.
Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.
#### Пункт б$^*$
В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:
$$
y=B\sin\omega t.
$$
А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.
$$
x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
$$
Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:
Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:
Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$.
+
Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].
Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса
$$
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
$$
@@ -101,7 +101,7 @@Пункт б$^*$
где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.
−
Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]:
+
Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:
$$
\begin{gathered}
x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\
y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
\end{gathered}\tag{2}
$$
где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).
Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем
$$
x^2C+y^2D-2xyE-F=0
$$
где
$$
\begin{gathered}
C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\
E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\
F=a^2b^2.
\end{gathered}\tag{3}
$$
Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем
Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.
Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:
$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?
$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?
б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.
б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.
### Решение
### Решение
#### Пункт a
#### Пункт a
Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.
Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.
После сообщение указанной скорости можем записать
После сообщение указанной скорости можем записать
$$
$$
x=A\cos\omega t,
x=A\cos\omega t,
\quad
\quad
y=B\sin\omega t,
y=B\sin\omega t,
$$
$$
где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.
где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.
Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем
Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем
$$
$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
$$
$$
Это — уравнение эллипса.
Это — уравнение эллипса.
Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что
Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что
$$
$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
$$
$$
Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.
Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.
Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.
Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.
#### Пункт б$^*$
#### Пункт б$^*$
В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:
В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:
$$
$$
y=B\sin\omega t.
y=B\sin\omega t.
$$
$$
А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.
А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.
$$
$$
x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
$$
$$
Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:
Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:
Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:
Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:
Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$.
Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].
Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса
Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса
$$
$$
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
$$
$$
@@ -101,7 +101,7 @@Пункт б$^*$
где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.
где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.
Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]:
Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:
$$
$$
\begin{gathered}
\begin{gathered}
x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\
x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\
y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
\end{gathered}\tag{2}
\end{gathered}\tag{2}
$$
$$
где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).
где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).
Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем
Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем
$$
$$
x^2C+y^2D-2xyE-F=0
x^2C+y^2D-2xyE-F=0
$$
$$
где
где
$$
$$
\begin{gathered}
\begin{gathered}
C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\
D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\
D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\
E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\
E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\
F=a^2b^2.
F=a^2b^2.
\end{gathered}\tag{3}
\end{gathered}\tag{3}
$$
$$
Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем
Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем
Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.
Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.
Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:
Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:
