| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.1.5^*.$ Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв? |
| $1.1.5^*.$ Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно: | | Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_A = t_0 + \\frac{L + x}{c}, \\tag{1} | | t_A = t_0 + \\frac{L + x}{c}, \\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $x = BO$. Аналогично для точки $B$ | | где $x = BO$. Аналогично для точки $B$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_B = t_0 + \\frac{x}{c}, \\tag{2} | | t_B = t_0 + \\frac{x}{c}, \\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для точки $C$ | | Для точки $C$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_C = t_0 + \\frac{L - x}{c}, \\tag{3} | | t_C = t_0 + \\frac{L - x}{c}, \\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из первого уравнения вычтем второе: | | Из первого уравнения вычтем второе: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_A – t_B = \\frac{L}{c}. \\tag{4} | | t_A – t_B = \\frac{L}{c}. \\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А из первого уравнения вычтем третье | | А из первого уравнения вычтем третье |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_A – t_C = \\frac{2x}{c}. \\tag{5} | | t_A – t_C = \\frac{2x}{c}. \\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из $(4)$ уравнения выразим $c = \\frac{L}{t_A – t_B}$, а из $(5)$ $x = \\frac{t_A – t_C}{2} \\cdot c$, Тогда искомое расстояние | | Из $(4)$ уравнения выразим $c = \\frac{L}{t_A – t_B}$, а из $(5)$ $x = \\frac{t_A – t_C}{2} \\cdot c$, Тогда искомое расстояние |
| | | |
| $$ | | $$ |
| AO = L + x = L + \\frac{t_A – t_C}{2}\\frac{L}{t_A – t_B} | | AO = L + x = L + \\frac{t_A – t_C}{2}\\frac{L}{t_A – t_B} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После преобразования | | После преобразования |
| | | |
| $$ | | $$ |
| AO = \\frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \\cdot L. \\tag{6} | | AO = \\frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \\cdot L. \\tag{6} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение | | Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_A = t_0 + \\frac{L + x}{c}, \\; c = \\frac{L}{t_A – t_B} | | t_A = t_0 + \\frac{L + x}{c}, \\; c = \\frac{L}{t_A – t_B} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\frac{t_A – t_C}{2} = \\frac{x}{c} | | \\frac{t_A – t_C}{2} = \\frac{x}{c} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| после преобразований | | после преобразований |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t_0 = t_B - \\frac{1}{2} \\cdot (t_A – t_C) | | t_0 = t_B - \\frac{1}{2} \\cdot (t_A – t_C) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| AO = \\frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \\cdot L, \\; t_0 = t_B - \\frac{1}{2} \\cdot (t_A – t_C) | | AO = \\frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \\cdot L, \\; t_0 = t_B - \\frac{1}{2} \\cdot (t_A – t_C) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
