Правка раздела «Решение»
ru/1.2.11.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. | |||
| $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. | |||
|  | |||
| @@ -8,7 +8,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: | |||
| $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$ | |||
| Где $dx$ - изменение уровня воды: | |||
| $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$ | |||
| Из геометрии, | |||
| $$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$ | |||
| По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ | |||
| Подставляя предыдущие выражения: | |||
| $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$ | |||
| $б)$ За малый промежуток времени $dt$ объем изменяется на $dV = q dt$ | |||
| Также приращение объема можно расписать как $dV = 2\pi r dr \cdot h $ | |||
| @@ -34,7 +34,7 @@Решение: | |||
| Таким образом: | |||
| − | $ q dt = 2\pi r dr \cdot h$ | ||
| + | $$ q dt = 2\pi r dr \cdot h$$ | ||
| Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$, | |||
| $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$ | |||
| #### Ответ: | |||
| а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ | |||
| ещё строк без изменений 8 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. | $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. | ||
| $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. | $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. | ||
|  |  | ||
| @@ -8,7 +8,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |
 | ||
| $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: | $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: | ||
| $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$ | $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$ | ||
| Где $dx$ - изменение уровня воды: | Где $dx$ - изменение уровня воды: | ||
| $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$ | $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$ | ||
| Из геометрии, | Из геометрии, | ||
| $$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$ | $$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$ | ||
| По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ | По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ | ||
| Подставляя предыдущие выражения: | Подставляя предыдущие выражения: | ||
| $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$ | $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$ | ||
| $б)$ За малый промежуток времени $dt$ объем изменяется на $dV = q dt$ | $б)$ За малый промежуток времени $dt$ объем изменяется на $dV = q dt$ | ||
| Также приращение объема можно расписать как $dV = 2\pi r dr \cdot h $ | Также приращение объема можно расписать как $dV = 2\pi r dr \cdot h $ | ||
| @@ -34,7 +34,7 @@Решение: | |||
| Таким образом: | Таким образом: | ||
| $ q dt = 2\pi r dr \cdot h$ | $$ q dt = 2\pi r dr \cdot h$$ | ||
| Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$, | Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$, | ||
| $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$ | $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$ | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ | а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ | ||
| ещё строк без изменений 8 | |||