| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. | | $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. |
| | | |
| $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. | | $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: | | $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: |
| | | |
| $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$ | | $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$ |
| | | |
| Где $dx$ - изменение уровня воды: | | Где $dx$ - изменение уровня воды: |
| | | |
| $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$ | | $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$ |
| | | |
| Из геометрии, | | Из геометрии, |
| | | |
| $$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$ | | $$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$ |
| | | |
| По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ | | По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ |
| | | |
| Подставляя предыдущие выражения: | | Подставляя предыдущие выражения: |
| | | |
| $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$ | | $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$ |
| $$ q dt = 2\pi r dr \cdot h$$ | | $$ q dt = 2\pi r dr \cdot h$$ |
| | | |
| Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$, | | Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$, |
| | | |
| $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$ | | $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ | | а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ |
| | | |
| | | |
| | | |
