Правка раздела «Альтернативное решение (пункт а)»

Yarocrafter правка от 7 сент. 2025 г., 17:45

правка #15451 предыдущая #15450 ← раньше позже →

ru/1.2.11.md +1 −1

			### Условие:

			$1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст.

			$б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю.

			![ К задаче 1.2.11 \|713x410, 42%](../../img/1.2.11/statement.png)

			### Решение:

			![ Конический сосуд \|508x529, 34%](../../img/1.2.11/drawing1.png)

			$a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна:

			$$
			\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}
			$$

			Где $dx$ - изменение уровня воды:

			$$
			\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0
			$$

			Из геометрии,

			$$
			r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha
			$$

			По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$

			Подставляя предыдущие выражения:

			$$
			v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s
			$$

			$б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$:
			$$
			V(t) = \pi R^2(t)h
			$$
			С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то:
			$$
			V(t) = qt
			$$
			Приравнивая выражения получаем:
			$$
			\pi R^2(t)h = qt
			$$

			$$
			R^2(t) = \frac{qt}{\pi h}
			$$

			$$
			R(t) = \sqrt{\frac{qt}{\pi h}}
			$$

			Зависимость скорости движения границы пятна от времени $v(t)$ есть производная зависимости радиуса пятна от времени $R(t)$:

			$$
			v(t) = R'(t)
			$$

			$$
			v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h}
			$$

			$$
			v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2}
			$$

			Сократив соответсвующие корни, получаем:

			$$
			\boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}}
			$$


			### Альтернативное решение (пункт а):

			Пусть $V$ - объём воды в сосуде в данный момент времени. Тогда:
			$$
		@@ -85,7 +85,7 @@Альтернативное решение (пункт а):
			V(t) = \frac{1}{3}\pi R^2(t) h(t) \tag{1}
			$$

		−	Поскольку уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v$:
		+	Поскольку уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$:
			$$
			h(t) = v_0t
			$$

			В прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого - образующая конуса, а катеты - высота $h(t)$ и радиус $R(t)$ соответственно:
			$$
			\operatorname{tg}\alpha = \frac{R(t)}{h(t)}
			$$

			$$
			R(t) = h(t)\cdot \operatorname{tg}\alpha = v_0t\cdot \operatorname{tg}\alpha
			$$

			Подставив занчения $R(t)$ и $h(t)$ в $(1)$ получаем:
			$$
			V(t) = \frac{1}{3}\pi v_0^3t^3\operatorname{tg}^2\alpha \tag{2}
			$$

			Пусть за небольшой промежуток времени $\Delta t$ объём изменился на величину $\Delta V$. Тогда скорость поступления воды через трубку на протяжении данного промежутка времени $v(t)$ можно считать постоянной:
			$$
			\Delta V = v(t)\Delta t S \tag{3}
			$$

			С другой стороны, из формулы $(2)$ следует:
			$$
			\Delta V = V(t+\Delta t) - V(t)
			$$
			$$
			\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha[(t+\Delta t)^3-t^3] \tag{4}
			$$

			Выражение в скобках:
			$$
			(t+\Delta t)^3-t^3 =
			$$
			$$
			= (t + \Delta t - t)((t+\Delta t)^2 + t(t+\Delta t)+t^2)
			$$
			$$
			= \Delta t(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2+t^2+t\Delta t+t^2) =
			$$
			$$
			= \Delta t(3t^2+3t\Delta t+\Delta t^2)
			$$

			Величиной $\Delta t^2$ по сравнению с другими можно пренебречь:
			$$
			\Delta t(3t^3+3t\Delta t) = \Delta t \cdot 3t(t^2+\Delta t)
			$$
			Величиной $\Delta t$ по сравнению с $t^2$ можно пренебречь:
			$$
			3\Delta t\cdot t\cdot t^2=3t^3\Delta t
			$$

			Возвращаясь к выражению $(4)$:

			$$
			\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha \cdot 3t^2\Delta t
			$$
			$$
			\Delta V = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t
			$$

			Приравняв полученное к выражению $(3)$:
			$$
			v(t)\Delta t S = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t
			$$

			Наконец, разделив левую и правую часть на $\Delta t \cdot S$, получаем:
			$$
			\boxed{v(t) = \frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}}
			$$

			#### Ответ:

			а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$
		ещё строк без изменений 73