| @@ -1,11 +1,8 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: |
| $1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: |
| |
| |
| а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; |
| а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; |
| |
| |
| б) границу области возможного попадания снаряда; |
| б) границу области возможного попадания снаряда; |
| |
| |
| в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$. |
| в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$. |
| |
| |
| Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$ |
| Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$ |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6): | | а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6): |
| | | |
| $$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$ | | $$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$ |
| | | |
| Воспользуемся подсказкой, | | Воспользуемся подсказкой, |
| | | |
| $$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$ | | $$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$ |
| | | |
| Откуда выражаем угол $ \varphi$: | | Откуда выражаем угол $ \varphi$: |
| | | |
| $$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$ | | $$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$ |
| | | |
| б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$: | | б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное | | Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное |
| | | |
| $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$ | | $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$ |
| | | |
| $$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$ | | $$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$ |
| | | |
| в) Из $(1)$, получаем: | | в) Из $(1)$, получаем: |
| | | |
| $$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$ | | $$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$ |
| | | |
| Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6): | | Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6): |
| @@ -42,33 +39,28 @@Решение: |
| |
| |
| $$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$ |
| $$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$ |
| |
| |
| $x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$ |
| $$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$$ |
| |
| |
| Пусть $\xi =\cos{\varphi}$, |
| Пусть $\xi =\cos{\varphi}$, |
| |
| |
| $v_y = v \xi$ |
| $$v_y = v \xi$$ |
| |
| |
| $v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$ |
| $$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$$ |
| |
| |
| Получаем функцию |
| Получаем функцию |
| |
| |
| $$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$ |
| $$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$ |
| |
| |
| Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2) |
| Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2) |
| |
| |
| $(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$ |
| $$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$$ |
| |
| |
| Минимум функции $(2)$ |
| Минимум функции $(2)$ |
| |
| |
| $$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$ |
| $$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$ |
| |
| |
| #### Ответ: |
| #### Ответ: |
| |
| |
| a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ |
| a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ |
| |
| |
| б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$ |
| б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$ |
| |
| |
| в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$ |
| в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
