| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: | | $1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: |
| а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; | | а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; |
| б) границу области возможного попадания снаряда; | | б) границу области возможного попадания снаряда; |
| в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \\,y$. | | в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \\,y$. |
| | | |
| Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \\cos^2 \\varphi = \\tan^2 \\varphi + 1$ | | Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \\cos^2 \\varphi = \\tan^2 \\varphi + 1$ |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6): | | а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2\\cos^2 \\varphi}\\tag{1} | | y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2\\cos^2 \\varphi}\\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Воспользуемся подсказкой, | | Воспользуемся подсказкой, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2}(1+\\tan^2 \\varphi)\\tag{2} | | y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2}(1+\\tan^2 \\varphi)\\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда выражаем угол $ \\varphi$: | | Откуда выражаем угол $ \\varphi$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}\\tag{3} | | \\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}\\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\\varphi$ от $-\\frac{\\pi}{2}$ до $\\frac{\\pi}{2}$: | | б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\\varphi$ от $-\\frac{\\pi}{2}$ до $\\frac{\\pi}{2}$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Видим, что все эти траектории имеют общую огибающую, за которую снаряд при данной скорости не может вылететь ни при каком угле. И эта огибающая подозрительно напоминает параболу... Попробуем найти ее уравнение | | Видим, что все эти траектории имеют общую огибающую, за которую снаряд при данной скорости не может вылететь ни при каком угле. И эта огибающая подозрительно напоминает параболу... Попробуем найти ее уравнение |
| | | |
| Проанализировав область определения функции $(2)$, заметим, что подкоренное выражение не отрицательное | | Проанализировав область определения функции $(2)$, заметим, что подкоренное выражение не отрицательное |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^4-2gv^2y-g^2x^2 \\geq 0 \\tag{4} | | v^4-2gv^2y-g^2x^2 \\geq 0 \\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| Другими словами, $(4)$ - это условие, при котором существует угол, направив пушку под которым, можно попасть в точку $(x, y)$. Либо это условие наличия корней $(2)$. Перепишем это: | | Другими словами, $(4)$ - это условие, при котором существует угол, направив пушку под которым, можно попасть в точку $(x, y)$. Либо это условие наличия корней $(2)$. Перепишем это: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y \\leq \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}\\tag{5} | | y \\leq \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}\\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| Уравнение | | Уравнение |
| $$ | | $$ |
| y = \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2} | | y = \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2} |
| $$ | | $$ |
| называют "параболой безопасности", оно описывает зону досягаемости орудия | | называют "параболой безопасности", оно описывает зону досягаемости орудия |
| | | |
| в) | | в) |
| Теперь мы сначала найдем зависимость необходимой для поражения цели скорости от угла выстрела, а потом - минимум этой функции. | | Теперь мы сначала найдем зависимость необходимой для поражения цели скорости от угла выстрела, а потом - минимум этой функции. |
| Перепишем (1) в немного другом виде, домножив на $v^2\\cos^2 \\varphi$: | | Перепишем (1) в немного другом виде, домножив на $v^2\\cos^2 \\varphi$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y v^2\\cos^2 \\varphi = x v^2 \\sin\\varphi\\cos \\varphi-\\frac{gx^2}{2} | | y v^2\\cos^2 \\varphi = x v^2 \\sin\\varphi\\cos \\varphi-\\frac{gx^2}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^2 (\varphi)=\\frac{gx^2}{2(x\\sin\\varphi\\cos \\varphi-y \\cos^2 \\varphi)}\tag{6} | | v^2 (\varphi)=\\frac{gx^2}{2(x\\sin\\varphi\\cos \\varphi-y \\cos^2 \\varphi)}\tag{6} |
| $$ | | $$ |
| Задача сводится к нахождению максимального значения $x\\sin2\\varphi- y\\cos2\\varphi$. такое можно решать с помощью производной, но покажем для разнообразия тригонометрический метод (вспомогательного угла): | | Задача сводится к нахождению максимального значения $x\\sin2\\varphi- y\\cos2\\varphi$. такое можно решать с помощью производной, но покажем для разнообразия тригонометрический метод (вспомогательного угла): |
| $$ | | $$ |
| x \sin 2\varphi - y \cos 2\varphi = \sqrt{x^2+y^2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin 2\varphi - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos 2\varphi \right) = \sqrt{x^2+y^2} \sin(2\varphi - \alpha) \le \sqrt{x^2+y^2} | | x \sin 2\varphi - y \cos 2\varphi = \sqrt{x^2+y^2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin 2\varphi - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos 2\varphi \right) = \sqrt{x^2+y^2} \sin(2\varphi - \alpha) \le \sqrt{x^2+y^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляя все вместе: | | Подставляя все вместе: |
| $$ | | $$ |
| v^{2}_{min}=\\frac{\frac{1}{2}gx^2}{\frac{1}{2}(\\sqrt{x^2+y^2}-y)}=\frac{gx(\\sqrt{x^2+y^2}+y)}{x^2+y^2-y^2} | | v^{2}_{min}=\\frac{\frac{1}{2}gx^2}{\frac{1}{2}(\\sqrt{x^2+y^2}-y)}=\frac{gx(\\sqrt{x^2+y^2}+y)}{x^2+y^2-y^2} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \\fbox{$v_{min}=\\sqrt{g(y+\\sqrt{x^2+y^2})}$} | | \\fbox{$v_{min}=\\sqrt{g(y+\\sqrt{x^2+y^2})}$} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| a) $\\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ | | a) $\\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ |
| б) $y=\\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}$ | | б) $y=\\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}$ |
| в) $v_{\\text{мин}}=\\sqrt{g(y+\\sqrt{x^2+y^2})}$ | | в) $v_{\\text{мин}}=\\sqrt{g(y+\\sqrt{x^2+y^2})}$ |
| | | |
| | | |
