| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> \(1.3.13^{*}.\) Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: | | <p> \(1.3.13^{*}.\) Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; | | а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| б) границу области возможного | | б) границу области возможного |
| попадания снаряда; | | попадания снаряда; |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он | | в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он |
| может попасть в точку с координатами $x, \,y$. | | может попасть в точку с координатами $x, \,y$. |
| </p> | | </p> |
| <p id="hint"> | | <p id="hint"> |
| Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos ^2 \varphi = \tan ^2 \varphi + 1$ | | Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos ^2 \varphi = \tan ^2 \varphi + 1$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p>а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p> | | <p>а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}$$ | | $$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Воспользуемся <a href="#hint">подсказкой</a>,</p> | | <p>Воспользуемся <a href="#hint">подсказкой</a>,</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan ^2 \varphi)\;(1)$$ | | $$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan ^2 \varphi)\;(1)$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Откуда выражаем угол $ \varphi$:</p> | | <p>Откуда выражаем угол $ \varphi$:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$ | | $$\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:</p> | | <p>б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:</p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="graph.png" alt="1.3.13" | | <img src="graph.png" alt="1.3.13" |
| loading="lazy" width="450" /> | | loading="lazy" width="450" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую | | Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p>Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное</p> | | <p>Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$ | | $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$ | | $$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>в) Из $(1)$, получаем:</p> | | <p>в) Из $(1)$, получаем:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$ | | $$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p> | | <p>Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$ | | $$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$ | | $x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Пусть $\xi=\cos{\varphi}$, </p> | | <p>Пусть $\xi=\cos{\varphi}$, </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $v_y = v \xi$ | | $v_y = v \xi$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $v_x = v \sqrt{1-\xi ^2}$ | | $v_x = v \sqrt{1-\xi ^2}$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Получаем функцию </p> | | <p>Получаем функцию </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$v(\xi)=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi \sqrt{1-\xi ^{2}}x-\xi ^{2}y}} \;(2)$$ | | $$v(\xi)=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi \sqrt{1-\xi ^{2}}x-\xi ^{2}y}} \;(2)$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)</p> | | <p>Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$ | | $(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Минимум функции $(2)$</p> | | <p>Минимум функции $(2)$</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$ | | $$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>a) $\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ | | <p>a) $\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$ |
| </p> | | </p> |
| <p>б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$ | | <p>б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$ |
| </p> | | </p> |
| <p>в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$ | | <p>в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$ |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
