Added 1.3.13&1.3.14; Updated 1.3.10-1.3.12

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #1458 GitHub 0c6cc0e позже →
ru/1.3.13.md +147 −0
@@ -0,0 +1,147 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p> \(1.3.13^{*}.\) Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите:
+ </p>
+ <p>
+ а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом;
+ </p>
+ <p>
+ б) границу области возможного
+попадания снаряда;
+ </p>
+ <p>
+ в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он
+может попасть в точку с координатами $x, \,y$.
+ </p>
+ <p id="hint">
+Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos ^2 \varphi = \tan ^2 \varphi + 1$
+ </p>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+ <p>а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p>
+ <p class="exp">
+ $y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}$
+ </p>
+ <p>Воспользуемся <a href="#hint">подсказкой</a>,</p>
+ <p class="exp">
+ $y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan ^2 \varphi)\;(1)$
+ </p>
+ <p>Откуда выражаем угол $ \varphi$:</p>
+ <p class="exp">
+ $\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$
+ </p>
+ <p>б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:</p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="graph.png" alt="1.3.13"
+ loading="lazy" width="450" />
+ <figcaption>
+ Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное</p>
+ <p class="exp">
+ $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$
+ </p>
+ <p class="exp">
+ $y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
+ </p>
+ <p>в) Из $(1)$, получаем:</p>
+ <p class="exp">
+ $v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$
+ </p>
+ <p>Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p>
+ <p class="exp">
+ $y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$
+ </p>
+ <p class="exp">
+ $x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$
+ </p>
+ <p>Пусть $\xi=\cos{\varphi}$, </p>
+ <p class="exp">
+ $v_y = v \xi$
+ </p>
+ <p class="exp">
+ $v_x = v \sqrt{1-\xi ^2}$
+ </p>
+ <p>Получаем функцию </p>
+ <p class="exp">
+ $v(\xi)=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi \sqrt{1-\xi ^{2}}x-\xi ^{2}y}} \;(2)$
+ </p>
+ <p>Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)</p>
+ <p class="exp">
+ $(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$
+ </p>
+ <p>Минимум функции $(2)$</p>
+ <p class="exp">
+ $\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$
+ </p>
+
+
+ <h4>
+ Ответ:
+ </h4>
+ <p>a) $\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$
+ </p>
+ <p>б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
+ </p>
+ <p>в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$
+ </p>
+ <br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>