Правка разделов «Решение», «Альтернативное решение», «Литература»

igor правка от 3 окт. 2026 г., 09:37

правка #22210 предыдущая #20688 ← раньше

ru/1.3.10.md +16 −1

			### Условие:

			$1.3.10.$ Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $u$. В нее бросил камень неопытный «охотник»,причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня $v$ была направлена как раз на утку под углом $\\alpha$ к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всеже попал в нее?

			![К задаче $1.3.10$\|561x321, 35%](../../img/1.3.10/statement.svg)

			### Решение:

			![\|462x245, 51%](../../img/1.3.10/01.png)

			Рассмотрим данное уравнение движения:

			$$
			y = h = \\nu t\\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}
			$$

			Известно, что:

			$$
			\\left\\\\{\\begin{matrix} S_{yt}=ut \\\\\\ S_{o}=\\nu t \\cos\\alpha \\end{matrix}\\right.
			$$

			Для угла $\\alpha$:

			$$
			\\tan\\alpha = \\frac{h}{S_{o} - S_{yt}} = \\frac{h}{t(\\nu\\cos\\alpha - u)}
			$$

			Подставляем значение угла $\\alpha$ в уравнение для высоты:

			$$
			h = t (\\nu\\cos\\alpha - u) \\tan\\alpha = \\nu t \\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}
			$$

			Из этого уравнения можно выразить время $t$:

			$$
			t = \\frac{2u \\tan\\alpha}{g}
			$$

			Подставляем значение времени $t$ обратно в уравнение для высоты:

			$$
		@@ -44,6 +44,21 @@Решение:
			\\fbox{$h = \\frac{2u \\tan^{2} \\alpha}{g} (\\nu\\cos\\alpha - u)$}
			$$

		−	#### Ответ: $h=\\frac{2utg^{2}\\alpha}{g}(\\nu\\cos\\alpha -u)$

		+	### Альтернативное решение

		+	Векторный метод.
		+
		+	![\|1754x796, 50%](../../img/1.3.10/1310.png)
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+	[1] Геометрические идеи при решении баллистических задач. А. А. Коновалов. Потенциал, 2013, № 1.
		+
		+	[2] И. Яковлев. Баллистика. Векторы. mathus.ru.
		+
		+	[3] И. Яковлев. Векторы и механика. mathus.ru.
		+
		+
		+	#### Ответ: $h=\\frac{2utg^{2}\\alpha}{g}(\\nu\\cos\\alpha -u)$

	### Условие:		### Условие:

	$1.3.10.$ Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $u$. В нее бросил камень неопытный «охотник»,причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня $v$ была направлена как раз на утку под углом $\\alpha$ к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всеже попал в нее?		$1.3.10.$ Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $u$. В нее бросил камень неопытный «охотник»,причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня $v$ была направлена как раз на утку под углом $\\alpha$ к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всеже попал в нее?

	![К задаче $1.3.10$\|561x321, 35%](../../img/1.3.10/statement.svg)		![К задаче $1.3.10$\|561x321, 35%](../../img/1.3.10/statement.svg)

	### Решение:		### Решение:

	![\|462x245, 51%](../../img/1.3.10/01.png)		![\|462x245, 51%](../../img/1.3.10/01.png)

	Рассмотрим данное уравнение движения:		Рассмотрим данное уравнение движения:

	$$		$$
	y = h = \\nu t\\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}		y = h = \\nu t\\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}
	$$		$$

	Известно, что:		Известно, что:

	$$		$$
	\\left\\\\{\\begin{matrix} S_{yt}=ut \\\\\\ S_{o}=\\nu t \\cos\\alpha \\end{matrix}\\right.		\\left\\\\{\\begin{matrix} S_{yt}=ut \\\\\\ S_{o}=\\nu t \\cos\\alpha \\end{matrix}\\right.
	$$		$$

	Для угла $\\alpha$:		Для угла $\\alpha$:

	$$		$$
	\\tan\\alpha = \\frac{h}{S_{o} - S_{yt}} = \\frac{h}{t(\\nu\\cos\\alpha - u)}		\\tan\\alpha = \\frac{h}{S_{o} - S_{yt}} = \\frac{h}{t(\\nu\\cos\\alpha - u)}
	$$		$$

	Подставляем значение угла $\\alpha$ в уравнение для высоты:		Подставляем значение угла $\\alpha$ в уравнение для высоты:

	$$		$$
	h = t (\\nu\\cos\\alpha - u) \\tan\\alpha = \\nu t \\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}		h = t (\\nu\\cos\\alpha - u) \\tan\\alpha = \\nu t \\sin\\alpha - \\frac{gt^{2}}{2}
	$$		$$

	Из этого уравнения можно выразить время $t$:		Из этого уравнения можно выразить время $t$:

	$$		$$
	t = \\frac{2u \\tan\\alpha}{g}		t = \\frac{2u \\tan\\alpha}{g}
	$$		$$

	Подставляем значение времени $t$ обратно в уравнение для высоты:		Подставляем значение времени $t$ обратно в уравнение для высоты:

	$$		$$
	@@ -44,6 +44,21 @@Решение:
	\\fbox{$h = \\frac{2u \\tan^{2} \\alpha}{g} (\\nu\\cos\\alpha - u)$}		\\fbox{$h = \\frac{2u \\tan^{2} \\alpha}{g} (\\nu\\cos\\alpha - u)$}
	$$		$$

	#### Ответ: $h=\\frac{2utg^{2}\\alpha}{g}(\\nu\\cos\\alpha -u)$

			### Альтернативное решение

			Векторный метод.

			![\|1754x796, 50%](../../img/1.3.10/1310.png)


			#### Литература

			[1] Геометрические идеи при решении баллистических задач. А. А. Коновалов. Потенциал, 2013, № 1.

			[2] И. Яковлев. Баллистика. Векторы. mathus.ru.

			[3] И. Яковлев. Векторы и механика. mathus.ru.


			#### Ответ: $h=\\frac{2utg^{2}\\alpha}{g}(\\nu\\cos\\alpha -u)$