База задач

По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью $v$. Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке $A$. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега $u < v$? Нарисуйте эту область для $u = v/2$

По биллиардному столу со сторонами $а$ и $б$ пускают шар от середины стороны $b$. Под каким углом к борту стола должен начать двигаться шар, чтобы вернуться в ту же точку, из которой он начал свое движение?

На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.

Пучок заряженных частиц различной массы, имеющих одну и ту же скорость $v$, направили по нормали к двум сеточным электродам, между которыми на каждую частицу действует одна и та же сила $F$. При какой наименьшей массе частиц в пучке все они достигнут второй сетки, если ширина зазора между электродами равна $l$?

Между неподвижным шаром массы m1 и налетающим на него шаром массы m2 находится неподвижный шар. Какова масса промежуточного шара, при которой шар массы m2 приобретает после соударения наибольшую скорость? Все удары центральные и упругие.

На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. Катушку тянут за нитку. При каких углах $\alpha$ между силой и горизонталью катушка станет ускоряться в сторону натянутой нити?

Посередине натянутой струны длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$.

Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.

Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?

Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения $\sigma_0$ и протяженностью $L$. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв $\sigma < \sigma_0$? Рассмотрите случаи $\sigma_0 \gg \sigma$ и $\sigma_0 \approx \sigma$.

Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порожденные ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.

Упругий стержень длины $l_1$, летящий со скоростью $v$, сталкивается своим торцом с торцом неподвижного стержня длины $l_2$, $l_1/c_1 > l_2/c_2$, где $c_1$ и $c_2$ — скорости звука соответственно в одном и другом стержне. Сечение стержней и плотность их материала одинаковы. Определите скорость центров масс стержней после столкновения.

Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком коридоре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходящей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чем тут дело? Частота волны $1$ МГц, скорость звука в материале экрана $5$ км/с. Найдите толщину звукоизолирующих экранов.

Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое?

Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L \gg A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна $c$.

Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила со стороны небольшого магнита $M$ меняется гармонически. Частота тока отвечает третьей гармонике струны. Длина струны $l$. Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда колебаний была наибольшей?

Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.

«... В 1941 г. немцы придумали кумулятивный противотанковый снаряд. На конусе снаряда — запал. При ударе он вызывает детонацию и воспламеняет весь заряд. Снаряд пробивает всю броню. В 1944 г. такие немецкие снаряды попали в наши руки и в руки союзников. Начался широкий эксперимент. При этом обнаружили много дополнительных эффектов и парадоксов. Стали выяснять, что же летит, что пробивает? Сначала думали, что это бронепрожигающий снаряд, что броню пронзает струя горячего газа. Нет, оказалось, что летит металл, причем самым необъяснимым образом: перед плитой со скоростью 8 км/с, внутри плиты 4 км/с, за плитой снова 8 км/с» (из вступительного слова председателя Президиума СО АН СССР академика М. А. Лаврентьева перед учащимися Летней физико-математической школы в 1971 г.). Объясните это явление. Определите, с какой скоростью двигалась стенка металлической конической полости, перекрывающей заряд, если угол при вершине полости $30^{\circ }$.

На поверхности жидкости плотности $\rho$ плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погруженный в жидкость. а. На сколько погрузится стакан в жидкость, если его поставить на поверхность жидкости вверх дном? Высота стакана $h$, давление воздуха $P_0$.

б. На какую глубину нужно погрузить перевернутый вверх дном стакан, чтобы он вместе с заключенным в нем воздухом пошел ко дну?

Решите задачи 5.8.5 в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен $1/m$, где $m$ — целое число.