Задача 7.3.7

Решение

В решении задачи $7.3.6$ получена формула поперечной скорости электрона сразу после выхода из пространства между отклоняющими пластинами (в терминах синусов):

$$v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right),\tag{1}$$

где $e$ есть заряд электрона, $U_0$ есть амплитуда напряжения на отклоняющих пластинах (амплитуда сигнала), $m$ есть масса электрона, $d$ есть расстояние между отклоняющими пластинами, $\omega$ есть частота сигнала.

Как и в той задаче, не усложним и рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля, $l$ есть продольное расстояние между отклоняющими пластинами).

Смещение электрона поперечное считаем происходит только на пути $L$ после отклоняющих пластин:

$$y=v_y\frac{L}{v},\tag{2}$$

где $v$ есть продольная скорость электрона.

Величины $L,v$ фиксированы считаем. Полоса ширины $\delta$ выделяет область всевозможных отклонений

$$y=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)$$

(подставили $(1)$ в $(2)$).

Тогда отклонения $y$ должны лежать в интервале

$$[-\delta/2;\delta/2].$$

Идеальный случай

Для какого-то электрона может оказаться такая начальная фаза $\varphi=\pi/2-\omega\tau/2$, что первый синус станет равным $1$. Поэтому в любом случае максимум смещения

$$\boxed{y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right).\tag{3}}$$

Откуда можно выразить после многих преобразований с учетом $y_\text{m}=\delta/2$, $eV=mv^2/2$ и для чувствительности $S=Ll/(2Vd)$:

$$\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S\sin\left(\pi\nu\tau\right)}.}\tag{4}$$

Такой ответ в идеальном случае. Далее станет понятно, почему так.

Реальный случай

Дело в том, что в реальности частота сигнала может случайно меняться по меньшей мере на величину $\Delta\ll \nu$.

Выражение $(3)$ становится

$$y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\pi\nu\tau\pm\pi\Delta\tau\right).$$

По условию можно сказать, что $\pi\nu\tau\gg1$, тогда для малой $\Delta$ справедливо $\pi\Delta\tau\sim1$, что по порядку дает также $\pi\Delta\tau\sim2\pi$. Это означает что добавка $\pi\Delta\tau$ может оказаться любой из области определения синуса и этот самый синус может стать равным $1$, что отвечает интересующему наибольшему максимуму смещения $y_\text{m}$:

$$\boxed{y_\text{m}^*=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega},}$$

отвечающему $y_\text{m}^*=\delta/2$. Подходящая $\Delta$ должна сохраниться на всем времени пролета электрона между отклоняющими пластинами.

Из предыдущего так же, как и в прошлый раз можно выразить

$$\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S}.}$$