6. ЭлектростатикаФормулы Савченко, глава 6 из 14, 40 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
Точечные заряды взаимодействуют с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, одноимённые отталкиваются. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, и силы от нескольких зарядов складываются как векторы. В системе СГС множитель $k$ равен единице.
$$\vec E = \frac{\vec F}{q}, \qquad \vec F = q\vec E$$
$\vec E$
напряжённость электрического поля
q
пробный заряд
$\vec F$
сила на заряд в этом поле
Напряжённость есть сила на единицу положительного заряда, помещённого в точку. Поля от разных источников складываются векторно, а сила на заряд равна $qE$, откуда его ускорение $qE/m$. Заряд в поле тяжести и электрическом поле подвешивается там, где $qE$ уравновешивает $mg$.
$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}, \qquad \vec E = \sum_i \vec E_i$$
$\displaystyle E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Qh}{(R^2 + h^2)^{3/2}}\ \text{(на оси кольца)}$
q
заряд, создающий поле
r
расстояние до него
Поле точечного заряда направлено по радиусу и убывает как $1/r^2$. Поле системы зарядов есть векторная сумма полей каждого, а поле протяжённого тела считают интегралом по его элементам $dq$. На оси заряженного кольца остаётся только составляющая вдоль оси.
расстояние от первого заряда до точки, где поле равно нулю
Между одноимёнными зарядами поле обращается в нуль там, где их поля равны по величине, и расстояния относятся как корни из зарядов. Третий заряд в этой точке находится в равновесии, но по отношению к смещению вдоль линии оно неустойчиво, если все три заряда одного знака.
Шарик висит там, где натяжение нити уравновешивает и тяжесть, и отталкивание, так что отношение кулоновской силы к $mg$ равно тангенсу угла отклонения. Расстояние между шариками $2l\sin\alpha$ входит в закон Кулона, и заряд находится из одного уравнения. При малых углах $\sin\alpha \approx \tan\alpha$.
Два равных разноимённых заряда на малом расстоянии описываются одним вектором, дипольным моментом. В однородном поле на диполь действует только момент сил, разворачивающий его по полю, в неоднородном ещё и сила $p\,\partial E/\partial x$, тянущая в область сильного поля. Дипольный момент поляризованного шара считают интегралом по его поверхностному заряду.
$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}, \qquad E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\ \text{(у поверхности проводника)}$$
$\displaystyle E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}\ \text{(снаружи слоя толщины }h)$$\displaystyle \sigma = \varepsilon_0 E\ \text{(заряд на поверхности проводника)}$
$\sigma$
поверхностная плотность заряда
$\rho$
объёмная плотность заряда в слое
Бесконечная плоскость создаёт с обеих сторон однородное поле $\sigma/2\varepsilon_0$, не зависящее от расстояния. У поверхности проводника поля всех его зарядов складываются в $\sigma/\varepsilon_0$ снаружи и нуль внутри. Две разноимённо заряженные пластины дают поле $\sigma/\varepsilon_0$ между собой и нуль снаружи.
$$\oint \vec E\cdot d\vec S = \frac{q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}$$
$\displaystyle \Phi = ES\cos\alpha\ \text{(поток через площадку)}$$\displaystyle \Phi = \frac{q\,\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\ \text{(поток точечного заряда через телесный угол)}$
$\Phi$
поток вектора $\vec E$ через замкнутую поверхность
$q_{\text{внутр}}$
заряд внутри поверхности
$\varepsilon_0$
электрическая постоянная
Поток напряжённости через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри неё, делённому на $\varepsilon_0$, независимо от зарядов снаружи. Для симметричных распределений выбирают поверхность, на которой $E$ постоянно и перпендикулярно, сферу, цилиндр или коробку, и поле выходит в одну строку. Поток точечного заряда через площадку равен $q\Omega/4\pi\varepsilon_0$, где $\Omega$ телесный угол.
$\displaystyle \vec E = \frac{\rho\,\vec l}{3\varepsilon_0}\ \text{(в сферической полости, }\vec l\text{ от центра шара к центру полости)}$$\displaystyle E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\ (r > R)$
Q
полный заряд
R
радиус шара или сферы
$\rho$
объёмная плотность заряда
Снаружи равномерно заряженный шар или сфера действуют как точечный заряд в центре. Внутри сферы поле равно нулю, внутри однородно заряженного шара оно растёт линейно с радиусом, потому что работает только заряд внутри радиуса $r$. Поле в сферической полости шара однородно и равно $\rho\vec l/3\varepsilon_0$, разности полей двух шаров.
Поле длинной нити радиальное и убывает как $1/r$, что следует из теоремы Гаусса для цилиндра длиной $l$ с зарядом $\lambda l$. Внутри равномерно заряженного цилиндра поле растёт линейно с $r$, снаружи такое же, как у нити с тем же зарядом на единицу длины.
телесный угол, под которым видна площадка из заряда
$\sigma$
поверхностная плотность заряда
$E_\perp$
составляющая поля, перпендикулярная заряженной поверхности
Поток точечного заряда через площадку пропорционален телесному углу, под которым она видна, так как через всю сферу в $4\pi$ проходит $q/\varepsilon_0$. Отсюда поток через грань куба с зарядом в центре равен $q/6\varepsilon_0$, а через грань с зарядом в вершине нуль. Обратно, нормальная составляющая поля заряженной поверхности в точке равна $\sigma\Omega/4\pi\varepsilon_0$, где $\Omega$ телесный угол поверхности из этой точки, что даёт поле диска, конуса и полусферы без интегралов.
$$E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}\ \text{(внутри, от середины)}, \qquad E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}\ \text{(снаружи)}$$
$\rho$
объёмная плотность заряда
h
толщина слоя
x
расстояние от средней плоскости
Внутри однородно заряженного плоского слоя поле растёт линейно от середины, потому что по теореме Гаусса работает только заряд между $-x$ и $x$, снаружи слой действует как плоскость с $\sigma = \rho h$. Поле в полости слоя или шара находят вычитанием, как для отсутствующего заряда. Два слоя противоположного знака дают поле только в промежутке.
Поле есть взятый с минусом градиент потенциала, а разность потенциалов между двумя точками равна интегралу от $E$ вдоль любого пути между ними. В однородном поле это просто $Ed$. Потенциал внутри заряженного шара или цилиндра находят, интегрируя известное поле от поверхности внутрь.
$$\frac{mv^2}{2} = eU, \qquad v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$$
U
пройденная разность потенциалов
e
заряд частицы
m
её масса
Заряд, свободно прошедший напряжение $U$, набирает кинетическую энергию $eU$, независимо от формы пути и поля. Электрон, ускоренный киловольтом, летит со скоростью около $2\cdot10^7$ м/с. Это же соотношение даёт запирающее напряжение, останавливающее частицу.
$\displaystyle W = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}\ \text{(энергия двух зарядов)}$$\displaystyle v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$
q
заряд частицы
$\varphi$
потенциал в точке
U
пройденная разность потенциалов
Электростатическое поле потенциально, и заряд в нём имеет потенциальную энергию $q\varphi$, которая вместе с кинетической сохраняется. Пройдя напряжение $U$, электрон получает энергию $eU$, отсюда электронвольт. Энергия двух зарядов равна $q_1q_2/4\pi\varepsilon_0 r$, положительная для одноимённых.
Потенциал точечного заряда убывает как $1/r$ и равен нулю на бесконечности. Потенциалы скаляры, поэтому потенциал системы зарядов есть простая сумма, а протяжённого тела интеграл $\int dq/4\pi\varepsilon_0 r$. Так потенциал в центре кольца или сферы равен $Q/4\pi\varepsilon_0 R$, потому что все элементы на одном расстоянии.
$\displaystyle q' = -q\frac{R}{L}\ \text{(заряд на заземлённой сфере от заряда }q\text{ на расстоянии }L)$$\displaystyle \sigma_1' = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}\ \text{(внешние грани двух пластин)}$
$E_{\text{внутри}}$
поле внутри металла
$\sigma$
поверхностная плотность заряда
$\varphi$
потенциал проводника, один во всех его точках
В равновесии заряды проводника перераспределяются так, что поле внутри равно нулю, а весь проводник, включая полости, имеет один потенциал. Заряд сидит на поверхности, поле у неё перпендикулярно и равно $\sigma/\varepsilon_0$. Заряды на внешних гранях системы пластин равны полусумме всех зарядов, на внутренних противоположны друг другу. У заземлённой сферы потенциал нуль, откуда наведённый заряд $-qR/L$.
$\displaystyle C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2 - R_1}\ \text{(сферический конденсатор)}$
q
заряд проводника
$\varphi$
его потенциал
R
радиус шара
Потенциал уединённого проводника пропорционален его заряду, и коэффициент зависит только от формы и размеров. У шара ёмкость равна $4\pi\varepsilon_0 R$, и при подобном увеличении тела в $k$ раз ёмкость растёт в $k$ раз. У сферического конденсатора она находится из разности потенциалов обкладок.
Снаружи потенциал сферы такой же, как у точечного заряда, внутри поле равно нулю и потенциал всюду равен своему значению на поверхности. Внутри однородного шара потенциал растёт к центру на $\rho R^2/6\varepsilon_0$, что получается интегрированием линейного поля. Потенциал в центре кольца или сферы можно считать и как $\int dq/4\pi\varepsilon_0 R$, поскольку все заряды на одном расстоянии.
Поле заряда над заземлённой плоскостью вне металла совпадает с полем этого заряда и его зеркального изображения $-q$ на глубине $h$, потому что такая пара даёт нулевой потенциал на плоскости. Заряд притягивается к плоскости как к изображению на расстоянии $2h$. Для заземлённой сферы изображение $-qR/L$ сидит на расстоянии $R^2/L$ от центра.
Поле между концентрическими сферами создаёт только заряд внутренней, и разность потенциалов равна интегралу от $q/4\pi\varepsilon_0 r^2$. При $R_2 \to \infty$ получается ёмкость уединённого шара, при узком зазоре плоская формула. Потенциал каждой сферы в системе есть сумма вкладов всех сфер, внутренние дают $q/4\pi\varepsilon_0 r$, внешние $q/4\pi\varepsilon_0 R$.
$\displaystyle C = \frac{\varepsilon_0 S}{d - h + h/\varepsilon}\ \text{(пластина диэлектрика толщины }h\text{ в зазоре)}$$\displaystyle C = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}\,(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)\ \text{(два диэлектрика рядом)}$
S
площадь обкладки
d
зазор
$\varepsilon$
диэлектрическая проницаемость заполнения
Поле между близкими пластинами однородно и равно $\sigma/\varepsilon_0$, напряжение $Ed$, откуда ёмкость. Диэлектрик ослабляет поле в $\varepsilon$ раз и во столько же увеличивает ёмкость. Пластина в части зазора и заполнение половины площади считаются как последовательное и параллельное соединение конденсаторов.
Заряд конденсатора пропорционален напряжению, и ёмкость зависит только от геометрии и диэлектрика. Обкладки несут равные и противоположные заряды. В цепи с источником напряжение на конденсаторе после зарядки равно ЭДС, а заряд $C\mathcal{E}$.
$\displaystyle W = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}\ \text{(заряженная сфера)}$$\displaystyle A = W_2 - W_1\ \text{(работа при раздвижении обкладок)}$
C
ёмкость
U
напряжение
q
заряд
Заряжая конденсатор, переносят заряд против растущего напряжения, и работа равна площади треугольника $qU/2$. Энергия сидит в поле между обкладками. При медленном раздвижении обкладок при постоянном заряде работа внешней силы равна приросту $q^2/2C$, при постоянном напряжении источник тоже участвует в балансе. Половина работы источника при зарядке через сопротивление уходит в тепло.
ёмкость параллельного соединения, общее напряжение
$C_{\text{посл}}$
ёмкость последовательного соединения, общий заряд
При параллельном соединении напряжения одинаковы и складываются заряды, при последовательном заряды одинаковы и складываются напряжения. Заземлённая пластина между двумя другими делит конденсатор на два параллельных. В сложной схеме пишут закон сохранения заряда для каждого изолированного узла и равенство суммы напряжений вдоль контура.
$\displaystyle U = \frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1 + C_2}\ \text{(соединение двух заряженных конденсаторов)}$
q1, q2
заряды на пластинах, соединённых проводником или изолированных вместе
Ui
напряжения на элементах контура
Заряд изолированной группы пластин сохраняется, а сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна нулю, так как поле потенциально. Этих двух правил хватает, чтобы найти заряды после любого переключения. Пластина между двумя другими, заземлёнными, делит свой заряд между ними обратно пропорционально расстояниям. При соединении двух конденсаторов общее напряжение есть средневзвешенное.
Поле между коаксиальными цилиндрами равно $q/2\pi\varepsilon_0 l r$, и интеграл по $r$ даёт логарифм отношения радиусов. При узком зазоре логарифм близок к $d/R$ и формула переходит в плоскую. Тонкий провод у плоскости или цилиндр в цилиндре с малым радиусом дают ёмкость на единицу длины порядка $2\pi\varepsilon_0/\ln$.
$\displaystyle F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2d^2}\ \text{(притяжение обкладок)}$$\displaystyle F = -\frac{dW}{dx}\ \text{(через энергию)}$
$\sigma$
поверхностная плотность заряда
E
поле у поверхности снаружи
p
сила на единицу площади, наружу
На заряд площадки действует не полное поле $E$, а поле всех остальных зарядов, равное $E/2$, потому что собственное поле площадки на неё не давит. Отсюда давление $\sigma E/2$, всегда наружу, как отрицательное давление. Так считают силу притяжения обкладок, растяжение заряженного мыльного пузыря и подъём жидкости в конденсаторе. Тот же результат даёт $F = -dW/dx$.
$$w = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2}, \qquad W = \int \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\,dV$$
$\displaystyle W = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}\ \text{(заряженная сфера)}$$\displaystyle W = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}\ \text{(равномерно заряженный шар)}$
w
плотность энергии поля
E
напряжённость
$\varepsilon$
проницаемость среды
Энергия конденсатора $CU^2/2$, записанная через поле, равна $\varepsilon_0E^2/2$ на единицу объёма, и это верно для любого поля. Энергию заряженной сферы получают, интегрируя $E^2$ снаружи, шара с добавкой внутренней части. Энергия поля растёт при сложении полей нелинейно, поэтому сближение зарядов и разрезание шара стоят работы.
Энергия взаимодействия есть сумма по всем парам, и половина в первой формуле не даёт считать каждую пару дважды. Собирая систему заряд за зарядом, тратят работу против уже собранных, поэтому $n$ одинаковых зарядов в одном месте требуют $n(n-1)/2$ парных энергий. Работа внешних сил при перестройке равна разности энергий.
Энергия заряженной сферы равна $Q\varphi/2$, половине произведения заряда на потенциал, или $Q^2/2C$ с ёмкостью $4\pi\varepsilon_0R$. Та же величина получается интегрированием плотности энергии поля снаружи. У однородного шара добавляется поле внутри, и энергия в $6/5$ раза больше. Разделение сферы на две или сжатие в два раза стоят разности этих энергий, работа при этом идёт против электрического давления.
$$m_ec^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}, \qquad R \approx 1{,}4\cdot10^{-15}\ \text{м}$$
me
масса электрона
e
элементарный заряд
R
радиус, при котором энергия поля равна $m_ec^2$
Если приписать всю энергию покоя электрона энергии его электрического поля, то поле сферы радиуса $R$ даёт $e^2/8\pi\varepsilon_0R$, и отсюда $R \sim 10^{-15}$ м. Это оценка того масштаба, где электростатика перестаёт работать, а не настоящий размер электрона.
$\displaystyle \vec D = \varepsilon\varepsilon_0\vec E, \qquad \oint \vec D\cdot d\vec S = q_{\text{своб}}$$\displaystyle \varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n}, \qquad E_{1\tau} = E_{2\tau}$
$\varepsilon$
диэлектрическая проницаемость
E0
поле свободных зарядов, без диэлектрика
$\vec E_{\text{пол}}$
поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика
Диэлектрик, заполняющий всё пространство поля, ослабляет его в $\varepsilon$ раз, потому что связанные заряды на его поверхности создают встречное поле. При этом ёмкость растёт в $\varepsilon$ раз, а конденсатор, подключённый к источнику, добирает заряд $(\varepsilon-1)CU$. На границе двух диэлектриков нормальная составляющая $\varepsilon E$ и касательная $E$ непрерывны, отсюда преломление силовых линий.
$$\vec P = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec E = n\vec p, \qquad \sigma' = P_n$$
$\vec P$
поляризованность, дипольный момент единицы объёма
n
концентрация молекул
$\vec p$
дипольный момент одной молекулы
$\sigma'$
поверхностная плотность связанного заряда
В поле молекулы диэлектрика приобретают дипольный момент, и на поверхности, куда смотрят диполи, выступает связанный заряд с плотностью, равной нормальной составляющей $P$. У пластины в плоском конденсаторе связанный заряд $\sigma(\varepsilon-1)/\varepsilon$ противоположен свободному, чем и ослабляется поле. Скачок $P_n$ на границе двух диэлектриков тоже даёт связанный заряд.
$$F = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\,b\,U^2}{2d}, \qquad h = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)U^2}{2\rho g d^2}$$
$\displaystyle F = \frac{U^2}{2}\frac{dC}{dx}\ \text{(при постоянном напряжении)}$$\displaystyle F = -\frac{q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx}\ \text{(при постоянном заряде)}$
b
ширина обкладки поперёк движения
d
зазор
U
напряжение
h
высота подъёма жидкого диэлектрика
$\rho$
плотность жидкости
Ёмкость растёт, когда диэлектрик входит в зазор, и энергия системы с источником убывает, поэтому пластину или жидкость втягивает внутрь. Силу считают из производной ёмкости, при постоянном напряжении $F = U^2\,dC/dx/2$, при постоянном заряде из $q^2/2C$ с другим знаком перед производной. Жидкость поднимается, пока давление $\varepsilon_0(\varepsilon-1)E^2/2$ не уравновесится столбом $\rho g h$.
$\displaystyle \vec E_{\text{лок}} = \vec E + \frac{\vec P}{3\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon + 2}{3}\vec E$$\displaystyle F_x = p\,\frac{\partial E}{\partial x}\ \text{(сила на диполь в неоднородном поле)}$
$\alpha$
поляризуемость молекулы
$E_{\text{лок}}$
локальное поле на молекуле, в плотной среде больше среднего
r
радиус проводящего шарика, модель атома
n
концентрация молекул
Проводящий шарик в поле $E$ получает дипольный момент $4\pi\varepsilon_0 r^3E$, и такова по порядку величины поляризуемость атома. В разреженном газе $\varepsilon - 1 = n\alpha/\varepsilon_0$, в плотной среде на молекулу действует локальное поле с добавкой $P/3\varepsilon_0$ от окружения, что и даёт формулу Клаузиуса Моссотти. Диполь втягивается в область сильного поля с силой $p\,\partial E/\partial x$, у наведённого диполя она пропорциональна $E^2$.
толщины слоёв с проницаемостями $\varepsilon_1, \varepsilon_2$
Слои поперёк поля работают как последовательные конденсаторы, потому что $D$ в них одинаково, а поле в каждом равно $D/\varepsilon\varepsilon_0$. Пластина толщины $h$ уменьшает эффективный зазор на $h(1 - 1/\varepsilon)$, металлическая пластина ровно на свою толщину. Слои вдоль поля работают как параллельные конденсаторы.
$\displaystyle Q = \frac{CU^2}{2}(\varepsilon - 1)\ \text{(при постоянном напряжении, с учётом работы источника)}$$\displaystyle Q = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}\ \text{(зарядка через сопротивление)}$
q
заряд конденсатора
C
ёмкость до заполнения
$\varepsilon$
проницаемость диэлектрика
Когда диэлектрик влетает в зазор отключённого конденсатора, энергия $q^2/2C$ падает в $\varepsilon$ раз, и разность уходит в тепло и колебания пластины. При подключённом источнике конденсатор добирает заряд, источник совершает работу $\mathcal{E}\Delta q$, вдвое большую прироста энергии, и половина её греет цепь. То же при зарядке любого конденсатора через сопротивление.
На границе без свободных зарядов непрерывна нормальная составляющая $\varepsilon E$, потому что поток $D$ через тонкую коробочку равен нулю, и касательная составляющая $E$, потому что работа по малому контуру равна нулю. Силовые линии преломляются так, что тангенсы углов относятся как проницаемости. В слоистом конденсаторе отсюда следует, что поле обратно пропорционально $\varepsilon$ слоя.
$$\vec D = \varepsilon\varepsilon_0\vec E = \varepsilon_0\vec E + \vec P, \qquad \oint \vec D\cdot d\vec S = q_{\text{своб}}$$
$\vec D$
электрическое смещение
$\vec P$
поляризованность
$q_{\text{своб}}$
свободный заряд внутри поверхности, без связанных
Теорема Гаусса для $D$ содержит только свободные заряды, поэтому в задачах с диэлектриком сначала находят $D$ по симметрии, а потом $E = D/\varepsilon\varepsilon_0$ в каждом слое. Скачок нормальной составляющей $D$ равен плотности свободного заряда на границе, а скачок $\varepsilon_0E_n$ полному заряду, свободному и связанному вместе.