7. Движение заряженных частиц в электрическом полеФормулы Савченко, глава 7 из 14, 20 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
$$\vec a = \frac{q\vec E}{m}, \qquad y = \frac{qE\,t^2}{2m}, \qquad y = \frac{qE\,L^2}{2mv^2}$$
$\displaystyle t = \frac{2mv\sin\alpha}{qE}\ \text{(время полёта против поля)}$$\displaystyle x = \frac{mv^2\sin2\alpha}{qE}\ \text{(дальность)}$
q, m
заряд и масса частицы
E
напряжённость поля
L
длина области поля
v
скорость влёта
В однородном поле заряд движется с постоянным ускорением $qE/m$, как тело в поле тяжести, и все формулы баллистики переносятся с заменой $g$ на $qE/m$. Поперечное смещение за время пролёта $L/v$ равно $qEL^2/2mv^2$, поэтому при одном ускоряющем напряжении отклонение не зависит от массы и заряда. Заряд одновременно в поле тяжести и электрическом поле висит там, где $qE = mg$.
$\displaystyle S = \frac{y}{U} = \frac{Ll}{2dU_0}\ \text{(чувствительность трубки)}$
U
отклоняющее напряжение
d
зазор между пластинами
l
длина пластин
L
расстояние от пластин до экрана
U0
ускоряющее напряжение, $mv^2 = 2eU_0$
Внутри пластин электрон получает поперечную скорость $eUl/mdv$, дальше летит по прямой, и след на экране складывается из смещения внутри и наклона умноженного на $L$. Через ускоряющее напряжение $eU_0 = mv^2/2$ масса и заряд выпадают, и чувствительность $Ll/2dU_0$ зависит только от геометрии трубки. Так устроен осциллограф.
Поле, перпендикулярное границам слоя, меняет только нормальную составляющую скорости, касательная сохраняется, а работа поля $qEd$ даёт прирост кинетической энергии. Отсюда закон преломления траектории на границе, похожий на преломление света. То же для входа в область с другим потенциалом.
$$\omega = \sqrt{\frac{2qE}{ml}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}$$
q
заряды на концах стержня
l
длина стержня
E
поле
m
масса каждого конца
Диполь или заряженный стержень в поле стремится развернуться по полю, момент $qEl\sin\theta$ при малых углах пропорционален углу, и получаются гармонические колебания с частотой из уравнения $I\ddot\theta = -qEl\theta$. Заряд между двумя неподвижными зарядами или маятник над зарядом колеблются так же, частота собирается из возвращающих сил, разложенных до первого порядка по смещению.
$$p_\perp = \int F_\perp\,dt = \frac{qe}{2\pi\varepsilon_0 v r}, \qquad \alpha \approx \frac{p_\perp}{p} = \frac{qe}{2\pi\varepsilon_0 m v^2 r}$$
$p_\perp$
поперечный импульс, набранный за пролёт
r
прицельное расстояние
v
скорость частицы, почти не меняющаяся
$\alpha$
малый угол отклонения
Быстрая частица пролетает мимо заряда почти по прямой, и её отклонение считают, интегрируя поперечную силу по времени вдоль невозмущённой траектории. Интеграл $\int E_\perp\,dt = \frac{1}{v}\int E_\perp\,dz$ для точечного заряда равен $q/2\pi\varepsilon_0 v r$, и, что удобно, $\int E_\perp\,dz$ считается по теореме Гаусса для цилиндра радиуса $r$. Угол отклонения есть отношение поперечного импульса к продольному.
$$\frac{mv^2}{r} = eE = \frac{e\,U_0}{r\ln(R_2/R_1)}, \qquad U = \frac{U_0}{2\ln(R_2/R_1)}$$
U0
напряжение между цилиндрами
R1, R2
их радиусы
U
ускоряющее напряжение электрона, $eU = mv^2/2$
Поле между коаксиальными цилиндрами убывает как $1/r$, и электрон, влетевший по касательной, идёт по окружности, если центростремительная сила $mv^2/r$ равна $eE$. Так как $E r$ постоянно, условие не зависит от радиуса орбиты и сводится к соотношению между напряжением конденсатора и энергией электрона.
Тонкая электронная линза поворачивает каждый параксиальный луч на угол, пропорциональный его расстоянию от оси, $\Delta\theta = -y/f$, и этого достаточно, чтобы лучи из одной точки сошлись снова. Складывая углы до и после линзы, получают ту же формулу, что для оптической линзы, со всеми её следствиями для изображений. Отрицательное $f$ означает рассеивающую линзу.
Вблизи оси из $\operatorname{div}\vec E = 0$ следует радиальное поле $-\frac{r}{2}\partial E_z/\partial z$, так что там, где продольное поле меняется, на частицу действует сила, пропорциональная расстоянию от оси. Интегрируя её по времени пролёта, получают поперечный импульс $\propto r$, то есть линзу с фокусом $4U/(E_2 - E_1)$. Отверстие, за которым поле сильнее, собирает пучок, слабее рассеивает.
Параллельный луч первая линза наклоняет на $y/f_1$, до второй он проходит расстояние $d$ и подходит к ней ближе к оси, и вторая линза добавляет свой поворот. Сложение наклонов даёт формулу системы, в которой при $d \to 0$ оптические силы просто складываются. Собирающая и рассеивающая линзы с равными $f$ вместе собирают.
$$f = R\,\frac{U_0}{V}\ \text{(сплошной шар)}, \qquad f = 2R\left(\frac{U_0}{V}\right)^2\ \text{(сфера)}$$
R
радиус шара
V
потенциал шара
U0
ускоряющее напряжение пучка
x
расстояние луча от центра
Тонкий пучок, пролетающий сквозь заряженный шар с малым потенциалом, получает поперечный импульс, который по теореме Гаусса для цилиндра вдоль луча оказывается пропорциональным расстоянию от центра. Значит шар действует как линза, у сплошного шара вклад дают только пересечённые заряды и фокус $R U_0/V$, у тонкой сферы два прокола дают вклады противоположного знака и остаётся эффект второго порядка.
$$\ddot r + \frac{e\rho}{2m\varepsilon_0}\,r = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac{e\rho}{2m\varepsilon_0}}$$
$\rho$
плотность заряда ионов, через которые летит пучок
r
расстояние электрона от оси
e, m
заряд и масса электрона
Внутри однородно заряженного цилиндра поле растёт линейно с радиусом, $\rho r/2\varepsilon_0$, и электрон противоположного знака притягивается к оси силой, пропорциональной смещению. Его радиальное движение гармоническое, и пучок фокусируется на длине четверти периода, а за колонной продолжает путь по касательной к косинусоиде.
$$m\dot v = qE_0\sin\omega t, \qquad v = \frac{qE_0}{m\omega}(1 - \cos\omega t), \qquad x_{\max} = \frac{2qE_0}{m\omega^2}$$
$\displaystyle W_{\max} = \frac{q^2E_0^2}{2m\omega^2}\ \text{(наибольшая энергия, влёт в нужной фазе)}$$\displaystyle \langle v\rangle = \frac{qE_0}{m\omega}\cos\varphi\ \text{(дрейф зависит от фазы влёта)}$
E0
амплитуда поля
$\omega$
его частота
$\varphi$
фаза поля в момент влёта
Скорость заряда в переменном поле есть интеграл от ускорения, и к колебательной части $qE_0/m\omega$ добавляется постоянная, зависящая от фазы, в которой частица оказалась в поле. Влетевший в нуль поля электрон дрейфует со скоростью амплитуды колебаний, а наибольшая энергия, которую он может унести, равна $2q^2E_0^2/m\omega^2$. Амплитуда смещения $qE_0/m\omega^2$ падает с частотой.
Если за время пролёта поле успевает изменить знак, накопленный поперечный импульс есть интеграл от синусоиды по $\tau$ и содержит множитель $\sin(\omega\tau/2)$. При $\omega\tau = 2\pi n$ отклонение исчезает при любой фазе, а чувствительность трубки к быстрому сигналу падает как $\sin x/x$. Отсюда предельная частота осциллографа порядка $v/l$.
Свободный электрон в поле $E_0\sin\omega t$ колеблется в противофазе с амплитудой $eE_0/m\omega^2$, и поляризованность $nex$ направлена против поля, отчего $\varepsilon$ плазмы меньше единицы и ниже плазменной частоты отрицательна, так что волна отражается. Для электронов, связанных в атоме, к $-\omega^2$ добавляется $\omega_0^2$, и получается дисперсия диэлектриков.
расстояние в момент наибольшего сближения или столкновения
V
общая скорость в этот момент
Заряженные тела взаимодействуют на расстоянии, поэтому импульс системы сохраняется всегда, а кинетическая энергия обменивается с кулоновской. Тела сближаются больше всего, когда их скорости сравнялись, и это состояние находят как в неупругом ударе, только с добавкой потенциальной энергии. Так решают, долетит ли частица до шара, с какой скоростью разлетятся отпущенные заряды и сколько уйдёт в трение и пружину.
Для системы свободно движущихся зарядов сохраняется сумма кинетических энергий и парных кулоновских энергий, так что скорости разлёта после отпускания находят из энергии в начале, а расщепить её между частицами помогает сохранение импульса и симметрия. Тяжёлые частицы почти не набирают скорости, электроны уносят почти всю энергию. Если кроме зарядов есть металл или диэлектрик, в баланс входит и энергия наведённых зарядов, а изменение самоэнергии тела считают через энергию поля.
$\displaystyle \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\ \text{(приведённая масса)}$$\displaystyle m v\rho = m v' r_{\min}\ \text{(момент импульса при нецентральном сближении)}$
$r_{\min}$
наименьшее расстояние между зарядами
$\mu$
приведённая масса
$v_{\text{отн}}$
относительная скорость вдали
$\rho$
прицельное расстояние
В момент наибольшего сближения относительная скорость вдоль линии центров равна нулю, и кинетическая энергия относительного движения $\mu v^2/2$ полностью перешла в кулоновскую энергию $q_1q_2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$. Движение центра масс в этом не участвует, поэтому для двух одинаковых частиц навстречу с равными скоростями $\mu = m/2$, а для налетающей на неподвижную половина энергии остаётся в движении центра масс. При нецентральном ударе добавляется сохранение момента импульса.
$$\frac{mv^2}{r} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad K = -\frac{U}{2}, \qquad E = -\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$
$\displaystyle K = \frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}, \qquad U = -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$\displaystyle E_{\text{связи}} = -E = \frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$
$Z e$
заряд ядра
r
радиус орбиты
K, U
кинетическая и потенциальная энергии
E
полная энергия, отрицательная для связанного состояния
На круговой орбите кулоновское притяжение служит центростремительной силой, откуда $mv^2 = Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r$, то есть кинетическая энергия равна половине модуля потенциальной. Полная энергия отрицательна и равна $-K$, и чтобы оторвать электрон, нужно передать ему $K$. Двум электронам, вращающимся вокруг общего центра, и позитронию считают так же, только с расстоянием между частицами $2r$.
На оси кольца поперечные составляющие сил от его элементов гасятся, а продольные складываются с множителем $z/\sqrt{z^2+R^2}$. Вблизи центра сила линейна по смещению, и заряд противоположного знака колеблется на оси гармонически, вдали кольцо действует как точечный заряд. Поперёк оси заряд того же знака, наоборот, в центре неустойчив.
Сдвиг всех электронов слоя на $x$ относительно ионов обнажает на границах заряд $\pm nex$ на единицу площади и создаёт внутри поле $nex/\varepsilon_0$, возвращающее электроны. Уравнение движения гармоническое с плазменной частотой, не зависящей ни от толщины слоя, ни от амплитуды. Эта же частота ограничивает прохождение радиоволн через ионосферу.