| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. | | $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 1.5.17 | | К задаче 1.5.17 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| | | |
| <p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.16">1.5.16</a></p> | | <p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.16">1.5.16</a></p> |
| <p>В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$</p> | | <p>В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$</p> |
| <p> $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ </p> | | <p> $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ </p> |
| <p>Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$</p> | | <p>Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$</p> |
| <p> $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ </p> | | <p> $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ </p> |
| <p> $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ </p> | | <p> $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ </p> |
| <p> $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ </p> | | <p> $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ </p> |
| <p>Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$</p> | | <p>Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$</p> |
| <p> $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ </p> | | <p> $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ </p> |
| <p>Подставляем $(1)$</p> | | <p>Подставляем $(1)$</p> |
| <p> $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ </p> | | <p> $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ </p> |
| <p> $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ </p> | | <p> $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ </p> |
| | | |
| <h3> Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$</h3> | | <h3> Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$</h3> |
| | | |
| | | |
| <h3> Альтернативное решение: </h3> | | <h3> Альтернативное решение: </h3> |
| <p>За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние</p> | | <p>За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние</p> |
| <p>$$\Delta l=\upsilon\Delta t$$</p> | | <p>$$\Delta l=\upsilon\Delta t$$</p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.png" | | <img src="draw.png" |
| loading="lazy" width="280" /> | | loading="lazy" width="280" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Бревно и грузовик | | Бревно и грузовик |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p>При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла</p> | | <p>При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла</p> |
| <p>$$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$</p> | | <p>$$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$</p> |
| <p>Угловая скорость определяется как</p> | | <p>Угловая скорость определяется как</p> |
| <p>$$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$</p> | | <p>$$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$</p> |
| <p>Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.</p> | | <p>Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.</p> |
| <p>$$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$</p> | | <p>$$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$</p> |
| <p>Также можно записать, что</p> | | <p>Также можно записать, что</p> |
| <p>$$H=R\sin\alpha$$</p> | | <p>$$H=R\sin\alpha$$</p> |
| <p>С учетом этого</p> | | <p>С учетом этого</p> |
