Added 1.5.17; Updated 1.5.15-16

astrosander edited
View solution History
revision #1522 GitHub f95472d newer →
ru/1.5.17.md +113 −0
@@ -0,0 +1,113 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $α$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.
+ </p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ К задаче 1.5.17
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+
+
+ <p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.16">1.5.16</a></p>
+ <p>В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$</p>
+ <p> $$x = vt + H \tan \alpha\;(1)$$ </p>
+ <p>Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
+ <p> $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ </p>
+ <p> $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ </p>
+ <p> $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ </p>
+ <p>Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$</p>
+ <p> $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ </p>
+ <p>Подставляем $(1)$</p>
+ <p> $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha)}$$ </p>
+ <p> $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ </p>
+
+ <h3> Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$</h3>
+
+
+ <h3> Альтернативное решение: </h3>
+ <p>За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние</p>
+<p>$$\Delta l=\upsilon \Delta t$$</p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="draw.png"
+ loading="lazy" width="280" />
+ <figcaption>
+ Бревно и грузовик
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла</p>
+<p>$$\Delta \alpha=\frac{\Delta x }{R}$$</p>
+<p>Угловая скорость определяется как</p>
+<p>$$\omega=\frac{\Delta \alpha }{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$</p>
+<p>Но $\Delta x =\upsilon \Delta t\sin \alpha$.</p>
+<p>$$\omega=\frac{\upsilon \Delta t\sin \alpha }{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin \alpha }{R}$$</p>
+<p>Также можно записать, что</p>
+<p>$$H=R\sin \alpha$$</p>
+<p>С учетом этого</p>
+<p>$$\omega=\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$</p>
+<br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>