Edit to “Решение”

Anonymous edited Mar 9, 2026, 10:30 AM

View solution History

revision #16171 parent #11785 ← older

ru/1.5.17.md +1 −1

			### Условие:

			$ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.

			![ К задаче $1.5.17$ \|662x326, 42%](../../img/1.5.17/statement.png)

			### Решение:

			__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16)

		@@ -11,7 +11,7 @@Решение:
			В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$

			$$
		−	x = H ~~\tan~~\alpha\tag{1}
		+	x = H \cot\alpha\tag{1}
			$$

			Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$

			$$
			d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)
			$$

			$$
			d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}
			$$

			$$
			d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}
			$$

			Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$

			$$
			\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}
			$$

			Подставляем $(1)$

			$$
			\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}
			$$

			$$
			\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}
			$$

			#### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$

			### Альтернативное решение:

			За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние

			$$
			\Delta l=\upsilon\Delta t
			$$

			![ Бревно и грузовик \|507x349, 47%](../../img/1.5.17/draw.png)

			При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла

			$$
			\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}
			$$

			Угловая скорость определяется как

			$$
			\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }
			$$

			Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.

			$$
			\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}
			$$

			Также можно записать, что

			$$
			H=R\sin\alpha
			$$

			С учетом этого

			$$
			\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}
			$$
		unchanged lines 70

	### Условие:		### Условие:

	$ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.		$ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.

	![ К задаче $1.5.17$ \|662x326, 42%](../../img/1.5.17/statement.png)		![ К задаче $1.5.17$ \|662x326, 42%](../../img/1.5.17/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16)		__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16)

	@@ -11,7 +11,7 @@Решение:
	В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$		В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$

	$$		$$
	x = H ~~\tan~~\alpha\tag{1}		x = H \cot\alpha\tag{1}
	$$		$$

	Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$		Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$

	$$		$$
	d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)		d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)
	$$		$$

	$$		$$
	d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}		d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}
	$$		$$

	$$		$$
	d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}		d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}
	$$		$$

	Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$		Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$

	$$		$$
	\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}		\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}
	$$		$$

	Подставляем $(1)$		Подставляем $(1)$

	$$		$$
	\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}		\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}
	$$		$$

	$$		$$
	\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}		\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}
	$$		$$

	#### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$		#### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$

	### Альтернативное решение:		### Альтернативное решение:

	За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние		За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние

	$$		$$
	\Delta l=\upsilon\Delta t		\Delta l=\upsilon\Delta t
	$$		$$

	![ Бревно и грузовик \|507x349, 47%](../../img/1.5.17/draw.png)		![ Бревно и грузовик \|507x349, 47%](../../img/1.5.17/draw.png)

	При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла		При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла

	$$		$$
	\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}		\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}
	$$		$$

	Угловая скорость определяется как		Угловая скорость определяется как

	$$		$$
	\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }		\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }
	$$		$$

	Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.		Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$.

	$$		$$
	\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}		\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}
	$$		$$

	Также можно записать, что		Также можно записать, что

	$$		$$
	H=R\sin\alpha		H=R\sin\alpha
	$$		$$

	С учетом этого		С учетом этого

	$$		$$
	\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}		\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}
	$$		$$
	unchanged lines 70