Edit to “Альтернативное решение”

astrosander edited Apr 7, 2026, 6:05 AM

View solution History

revision #17821 parent #16127 ← older

ru/1.4.7.md +4 −2

			### Условие:

			$1.4.7^*.$ Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полета ветер дует под углом $\\alpha$ к трассе со скоростью $u$? Скорость самолета относительно воздуха $v$, длина трассы $L$. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?

			### Решение:

			![Проекции скоростей на горизонтальную ось \|537x331, 34%](../../img/1.4.7/draw.png)

			Чтобы самолет летел по курсу необходимо, чтобы выполнялось условие

			$$
			u \\sin\\alpha = v \\sin\\beta
			$$

			Откуда

			$$
			\\cos\\beta = \\sqrt{1 - u^2 \\sin^2 \\alpha / v^2}
			$$

			А полное время туда и обратно

			$$
			t_1 = \\frac{L}{v \\cos\\beta + u \\cos\\alpha}
			$$

			$$
			t_2 = \\frac{L}{v\\cos\\beta - u \\cos\\alpha}
			$$

			Полное время найдем, как

			$$
			t=t_1+t_2
			$$

			Подставим значение $\\cos\\beta$:

			$$
			t=\\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha} + \\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha}
			$$

			$$
			t=L\\frac{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}+\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} }{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}
			$$

			$$
			t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}
			$$

			Выражаем искомое время:

			$$
			\\fbox{$t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{v^{2}-u^{2}}$}
		@@ -55,8 +55,10 @@Решение:
			$$

			### Альтернативное решение:
		−	![\|2231x4032, 50%](../../img/1.4.7/IMG_1158.jpeg)
		−	![\|4032x3024, 50%](../../img/1.4.7/IMG_1159.jpeg)
		+
		+	![\|2231x4032, 100%](../../img/1.4.7/IMG_1158.jpeg)
		+
		+	![\|4032x3024, 100%](../../img/1.4.7/IMG_1159.jpeg)

			#### Ответ:

			$$
			t=\\frac{2L\\sqrt{v^{2}-u^{2}\\operatorname{sin}^{2}\\alpha}}{v^{2}-u^{2}}.\\textrm{ Вдоль трассы}.
			$$


		unchanged lines 5

	### Условие:		### Условие:

	$1.4.7^*.$ Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полета ветер дует под углом $\\alpha$ к трассе со скоростью $u$? Скорость самолета относительно воздуха $v$, длина трассы $L$. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?		$1.4.7^*.$ Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полета ветер дует под углом $\\alpha$ к трассе со скоростью $u$? Скорость самолета относительно воздуха $v$, длина трассы $L$. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?

	### Решение:		### Решение:

	![Проекции скоростей на горизонтальную ось \|537x331, 34%](../../img/1.4.7/draw.png)		![Проекции скоростей на горизонтальную ось \|537x331, 34%](../../img/1.4.7/draw.png)

	Чтобы самолет летел по курсу необходимо, чтобы выполнялось условие		Чтобы самолет летел по курсу необходимо, чтобы выполнялось условие

	$$		$$
	u \\sin\\alpha = v \\sin\\beta		u \\sin\\alpha = v \\sin\\beta
	$$		$$

	Откуда		Откуда

	$$		$$
	\\cos\\beta = \\sqrt{1 - u^2 \\sin^2 \\alpha / v^2}		\\cos\\beta = \\sqrt{1 - u^2 \\sin^2 \\alpha / v^2}
	$$		$$

	А полное время туда и обратно		А полное время туда и обратно

	$$		$$
	t_1 = \\frac{L}{v \\cos\\beta + u \\cos\\alpha}		t_1 = \\frac{L}{v \\cos\\beta + u \\cos\\alpha}
	$$		$$

	$$		$$
	t_2 = \\frac{L}{v\\cos\\beta - u \\cos\\alpha}		t_2 = \\frac{L}{v\\cos\\beta - u \\cos\\alpha}
	$$		$$

	Полное время найдем, как		Полное время найдем, как

	$$		$$
	t=t_1+t_2		t=t_1+t_2
	$$		$$

	Подставим значение $\\cos\\beta$:		Подставим значение $\\cos\\beta$:

	$$		$$
	t=\\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha} + \\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha}		t=\\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha} + \\frac{L}{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha}
	$$		$$

	$$		$$
	t=L\\frac{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}+\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} }{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}		t=L\\frac{\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}+\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} }{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}
	$$		$$

	$$		$$
	t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}		t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} + u \\cos\\alpha )(\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha} - u \\cos\\alpha )}
	$$		$$

	Выражаем искомое время:		Выражаем искомое время:

	$$		$$
	\\fbox{$t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{v^{2}-u^{2}}$}		\\fbox{$t=\\frac{2L\\sqrt{v^2 - u^2 \\sin^2 \\alpha}}{v^{2}-u^{2}}$}
	@@ -55,8 +55,10 @@Решение:
	$$		$$

	### Альтернативное решение:		### Альтернативное решение:
	![\|2231x4032, 50%](../../img/1.4.7/IMG_1158.jpeg)
	![\|4032x3024, 50%](../../img/1.4.7/IMG_1159.jpeg)		![\|2231x4032, 100%](../../img/1.4.7/IMG_1158.jpeg)

			![\|4032x3024, 100%](../../img/1.4.7/IMG_1159.jpeg)

	#### Ответ:		#### Ответ:

	$$		$$
	t=\\frac{2L\\sqrt{v^{2}-u^{2}\\operatorname{sin}^{2}\\alpha}}{v^{2}-u^{2}}.\\textrm{ Вдоль трассы}.		t=\\frac{2L\\sqrt{v^{2}-u^{2}\\operatorname{sin}^{2}\\alpha}}{v^{2}-u^{2}}.\\textrm{ Вдоль трассы}.
	$$		$$


	unchanged lines 5