Электромагнитная индукция > Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле > Задача 11.5.27

Условие

$11.5.27.$ Внешнее магнитное поле индукции $B$, в котором находится длинная идеально проводящая трубка, полностью стенками трубки не экранизируется
из-за того, что масса электронов конечна. Поле частично проникает внутрь трубки. Ось трубки направлена вдоль магнитного поля, ее радиус $r$ много больше толщины стенок $h$. Число электронов проводимости в единице объема материала трубки $n_e$. Рассчитайте индукцию поля, проникшего внутрь трубки, в случае
$B = 10 Тл$, $r = 1 мм$, $h = 0,1 мм$, $n_e = 10^{20} см^{−3}$.

Решение

До установления равновесия поток изменяется по следующему закону:

$$\frac{d \Phi}{d t} = \frac{d(B - B_e)}{dt} \pi r^2$$

Где $B_e$ - инлукыия создаваемая движением электронов.

Вихревое электрическое поле определяется теоремой о циркуляции:

$$E 2\pi r = \frac{d(B - B_e)}{dt} \pi r^2$$

$$E = \frac{d(B - B_e)}{dt} \frac{r}{2}$$

Запишем 2ЗН:

$$m\frac{d \upsilon}{dt} = \frac{d(B - B_e)}{dt} \frac{re}{2}$$

Отсюда:

$$\upsilon = (B - B_e) \frac{re}{2m}$$

Найдем плотность тока:

$$j = \frac{n_e \upsilon dt Lh e}{Lh dt}$$

$$j = n_e \upsilon e$$

Эквивалентная линейная плотность тока:

$$i = n_e \upsilon e h$$

Значит:

$$B_e = \mu_0 n_e \upsilon e h$$

Подставим скорость и найдем $B_e$:

$$B_e = \frac{B}{1 + \frac{2m}{\mu_0 n_e e^2 h r}}$$
Отсюда искомая индукция внутри:

$$B' = B - B_e = \frac{Bm}{m + \frac{\mu_0 n_e e^2 h r}{2}} \approx 5.7 \cdot 10^{-5} Тл$$

Ответ

$$B' = B - B_e = \frac{Bm}{m + \frac{\mu_0 n_e e^2 h r}{2}} \approx 5.7 \cdot 10^{-5} Тл$$