Постоянное магнитное поле > Магнитное поле тока распределенного по поверхности или пространству > Задача 9.3.23

Условие

$9.3.23.$ Плоскости витков круглого соленои да наклонены под углом $\alpha$ к его оси. Ток соленоида $I$, число витков на единицу его длины $n$,радиус $R$. Определите индукцию магнитного поля внутри такого соленоида.

Решение

Рассмотрим наш ток как суперпозицию продольного и поперечного тока, индукция внутри цилиндра определяется линейной плотностью тока, поэтому, продольная компонента индукции, которая создается поперечной компонентой тока никак не зависит от его наклона(количество витков с током пересекающих единицу длины любой линии на поверхности цилиндра параллельной его оси не зависит от угла наклона витков). Поэтому продольная компонента индукции будет как и в обычном соленоиде:
$$B_{||} = \mu_0 n I$$

Теперь разберемся с перпендикулярной компонентой, рассмотрим виток с током, пусть есть система координат с центром на оси цилиндра $(x, y, z)$, $$z = x ctg \alpha$$
Теперь перейдем в цилиндрическую систему координат с тем же началом: $(R, \varphi)$, где $\varphi$ - азимутальный угол:

$$z(\varphi) = R ctg \alpha cos \varphi$$

Теперь, чтобы рассчитать плотность тока через единицу длины коаксиальной окружности на поверхности цилиндра, посчитаем отношение изменения координаты z к длине кусочка окружности:
$$\frac{dz}{Rd\varphi}=\frac{-R ctg\alpha sin \varphi d\varphi}{Rd\varphi}=-ctg\alpha sin \varphi$$
Отсюда найдем распределение плотности тока $i$:
$$i(\varphi) = - Inctg \alpha sin \varphi$$

Удивительное совпадение, что такое распределение нам знакомо по предыдущей задаче, и мы точно знаем что оно создает внутри однородное поле перпендикулярное оси цилиндра, используя результат прошлой задачи получаем формулу:
$$B_{\perp} = \frac{1}{2}\mu_0 I n ctg \alpha$$

Если посмотреть ответ в Савченко, то у него допущена как минимум математическая ошибка, ведь при $\alpha = \pi/2$ перпендикулярная компонента должна обнулиться, а у него она уходит в бесконечность

Ответ

$$B_{||} = \mu_0 n I$$
$$B_{\perp} = \frac{1}{2}\mu_0 I n ctg \alpha$$