| @@ -1,6 +1,6 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.8.$ Пружина жесткости $k$ прикреплена одним концом кнеподвижнойстенке. На другой ее конец вдоль пружины с начальной скоростью $v$ налетает шар массы $m$. Какова наибольшая деформация сжатия пружины? Ответьте на этот же вопрос для случая, когда пружина предварительно сжата и удерживается нерастяжимой нитью, связывающей ее концы (начальная деформация пружина равна $x_0$) |
| $2.3.8.$ Пружина жесткости $k$ прикреплена одним концом к неподвижной стенке. На другой ее конец вдоль пружины с начальной скоростью $v$ налетает шар массы $m$. Какова наибольшая деформация сжатия пружины? Ответьте на этот же вопрос для случая, когда пружина предварительно сжата и удерживается нерастяжимой нитью, связывающей ее концы (начальная деформация пружина равна $x_0$) |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Т.к. пружина закреплена, из закона сохранения энергии, энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика: | | Т.к. пружина закреплена, из закона сохранения энергии, энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E_{кин}=E_{пр} | | E_{кин}=E_{пр} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{mv^2}{2}=\frac{kx^2}{2} | | \frac{mv^2}{2}=\frac{kx^2}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда находим максимальное сжатие пружины для случая а) | | Откуда находим максимальное сжатие пружины для случая а) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=v\sqrt{\frac{m}{k}}\tag{a} | | x=v\sqrt{\frac{m}{k}}\tag{a} |
| $$ | | $$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Для случая $2$ пружина изначально имеет некоторую начальную энергию $\frac{kx_0^2}{2}$: | | Для случая $2$ пружина изначально имеет некоторую начальную энергию $\frac{kx_0^2}{2}$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E_{кин}=E_{пр} | | E_{кин}=E_{пр} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика | | Энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{kx^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2} | | \frac{kx^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разделим обе части уравнения на жесткость пружины $k$ | | Разделим обе части уравнения на жесткость пружины $k$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x^2=x_0^2+\frac{m}{k}v^2 | | x^2=x_0^2+\frac{m}{k}v^2 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда находим максимальное сжатие пружины | | Откуда находим максимальное сжатие пружины |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}\tag{b} | | x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}\tag{b} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Заметим, что при $x_0=0$, мы получаем выражение $(a)$ | | Заметим, что при $x_0=0$, мы получаем выражение $(a)$ |
| | | |
| #### Ответ: $ x=v\sqrt{\frac{m}{k}};~x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}$ | | #### Ответ: $ x=v\sqrt{\frac{m}{k}};~x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}$ |
