| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | | $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | | Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из рисунка, найдем силу реакции опоры: | | Из рисунка, найдем силу реакции опоры: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N=mg \cos\alpha | | N=mg \cos\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По Закону Амонтона — Кулона: | | По Закону Амонтона — Кулона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos\alpha | | F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. $\mu = \tan\alpha$ (по условию): | | Т.к. $\mu = \tan\alpha$ (по условию): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр}=\mu mg \cos\alpha | | F_{тр}=\mu mg \cos\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр}=mg \cdot \tan\alpha\cdot \cos\alpha =mg \sin\alpha | | F_{тр}=mg \cdot \tan\alpha\cdot \cos\alpha =mg \sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F=mg \sin\alpha | | F=mg \sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Перерисуем в плоскости $XY$ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | | Перерисуем в плоскости $XY$ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | | В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Рассмотрим, произвольный момент: | | Рассмотрим, произвольный момент: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: | | Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: |
| | | |
| Запишем второй закон Ньютона: | | Запишем второй закон Ньютона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{matrix} \frac{du_x}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right. | | \left\\{\begin{matrix} \frac{du_x}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right. | | \left\\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Решаем систему дифференциальных уравнений: | | Решаем систему дифференциальных уравнений: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\\ \frac{du}{dt} = -\frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right. | | \left\\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\\ \frac{du}{dt} = -\frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разделим $(b)$ на $(a)$: | | Разделим $(b)$ на $(a)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} | | \frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi | | \frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi | | \frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Интегрируем обе части уравнения: | | Интегрируем обе части уравнения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \tag{c} | | \int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \tag{c} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \int\frac{du}{u}=ln|u| \tag{d} | | \int\frac{du}{u}=ln|u| \tag{d} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \tag{e} | | \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \tag{e} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | | Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\tag{e} | | ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\tag{e} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_x=\frac{v}{2} | | v_x=\frac{v}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: $v/2$ | | #### Ответ: $v/2$ |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
