Правка раздела «Решение»

Аноним правка от 27 февр. 2026 г., 06:15

правка #16138 предыдущая #12521 ← раньше позже →

ru/2.1.45.md +3 −3

			### Условие:

			$2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.

			### Решение:

			![ Силы действующие на тело \|526x402, 42%](../../img/2.1.45/sol.jpg)

			Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:

			![ Проетируем на $OY$ \|526x427, 42%](../../img/2.1.45/sol1.jpg)

			Из рисунка, найдем силу реакции опоры:

			$$
			N=mg \cos\alpha
			$$

			По Закону Амонтона — Кулона:

			$$
			F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos\alpha
			$$

			Т.к. $\mu = \tan\alpha$ (по условию):

			$$
			F_{тр}=\mu mg \cos\alpha
			$$

			$$
			F_{тр}=mg \cdot \tan\alpha\cdot \cos\alpha =mg \sin\alpha
			$$

			$$
			F=mg \sin\alpha
			$$

			Перерисуем в плоскости $XY$ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:

			![ Рисунок в плоскости $xOy$ \|553x425, 42%](../../img/2.1.45/sol3.jpg)

			В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:

			![ Силы действующие на тело в конечный момент \|481x530, 42%](../../img/2.1.45/sol4.jpg)

			Рассмотрим, произвольный момент:

			![ Силы действующие на тело в произвольный момент \|508x491, 42%](../../img/2.1.45/sol2.jpg)

			Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:

		@@ -53,17 +53,17 @@Решение:
			Запишем второй закон Ньютона:

			$$
		−	\left\\{\begin{matrix} \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.
		+	\left\\{\begin{matrix} \frac{du_x}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.
			$$

			$$
		−	\left\\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.
		+	\left\\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\\ \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.
			$$

			Решаем систему дифференциальных уравнений:

			$$
		−	\left\\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\\ \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right.
		+	\left\\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\\ \frac{du}{dt} = -\frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right.
			$$

			Разделим $(b)$ на $(a)$:

			$$
			\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}
			$$

			$$
			\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi
			$$

			$$
			\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi
			$$

			Интегрируем обе части уравнения:

			$$
			\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \tag{c}
			$$

			$$
			\int\frac{du}{u}=ln\|u\| \tag{d}
			$$

			$$
			\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \tag{e}
			$$

			Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:

			$$
			ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\tag{e}
			$$

			$$
			v_x=\frac{v}{2}
			$$

			#### Ответ: $v/2$
		ещё строк без изменений 38