| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <div id = "logo"> | | <div id = "logo"> |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | | $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol.jpg" | | <img src="sol.jpg" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на тело | | Силы действующие на тело |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | | Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol1.jpg" | | <img src="sol1.jpg" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Проетируем на $OY$ | | Проетируем на $OY$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Из рисунка, найдем силу реакции опоры: | | Из рисунка, найдем силу реакции опоры: |
| $$N=mg \cos \alpha$$ | | $$N=mg \cos \alpha$$ |
| По Закону Амонтона — Кулона: | | По Закону Амонтона — Кулона: |
| $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$ | | $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$ |
| Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию): | | Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию): |
| $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$ | | $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$ |
| $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$ | | $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$ |
| $$F=mg \sin \alpha$$ | | $$F=mg \sin \alpha$$ |
| Перерисуем в плоскости $XY$ | | Перерисуем в плоскости $XY$ |
| В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | | В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol3.jpg" | | <img src="sol3.jpg" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Рисунок в плоскости $xOy$ | | Рисунок в плоскости $xOy$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | | В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol4.jpg" | | <img src="sol4.jpg" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на тело в конечный момент | | Силы действующие на тело в конечный момент |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Рассмотрим, произвольный момент: | | Рассмотрим, произвольный момент: |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol2.jpg" | | <img src="sol2.jpg" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на тело в произвольный момент | | Силы действующие на тело в произвольный момент |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: | | Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Запишем второй закон Ньютона: | | Запишем второй закон Ньютона: |
| $$\left\{\begin{matrix} | | $$\left\{\begin{matrix} |
| \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | | \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ |
| \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | | \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & |
| \end{matrix}\right.$$ | | \end{matrix}\right.$$ |
| | | |
| $$\left\{\begin{matrix} | | $$\left\{\begin{matrix} |
| \frac{d}{dt} (u \sin \varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | | \frac{d}{dt} (u \sin \varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ |
| \frac{d}{dt} (u \cos \varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | | \frac{d}{dt} (u \cos \varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & |
| \end{matrix}\right.$$ | | \end{matrix}\right.$$ |
| Решаем систему дифференциальных уравнений: | | Решаем систему дифференциальных уравнений: |
| $$\left\{\begin{matrix} | | $$\left\{\begin{matrix} |
| \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\ | | \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\ |
| \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) | | \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) |
| \end{matrix}\right.$$ | | \end{matrix}\right.$$ |
| Разделим $(b)$ на $(a)$: | | Разделим $(b)$ на $(a)$: |
| $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$ | | $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$ |
| $$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$ | | $$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$ |
| $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$ | | $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$ |
| Интегрируем обе части уравнения: | | Интегрируем обе части уравнения: |
| <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$ --> | | <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$ --> |
| $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$$ | | $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$$ |
| $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$$ | | $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$$ |
| $$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \; (e)$$ | | $$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \; (e)$$ |
| Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | | Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$$ | | $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$$ |
| </div> | | </div> |
| $$v_x=\frac{v}{2}$$ | | $$v_x=\frac{v}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <h3> Ответ: </h3> | | <h3> Ответ: </h3> |
| <p> | | <p> |
| $$\frac{v}{2}$$ | | $$\frac{v}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
