Задача 7.2.12

Решение

Замечание. В новоим издании в условие добавлено, что $a$ есть промежуток между осями проволок! Добавлено также в этом условии.

Решение основано на идее решения задачи $7.2.6$ про связи суммы элементарных приращений поперечного импульса с потоком напряженности и теоремой Гаусса.

Считаем, что нужно найти максимальную поперечную кинетическую энергию $\Delta E_{k\perp\text{max}}$, то есть с максимальной поперечной скоростью.

Считаем, что поле искривляется на вблизи плоскости проволок на расстоянии от этой плоскости много меньшем $d$. Поэтому электрон приходит в эту область практически с продольной скоростью (вдоль основного поля конденсатора) из связи $2eV = mv^2$.

В то же время считаем, что область искривления поля имеет длину вдоль основного поля много большую, чем промежуток между осями $a$ (полагаем $a\sim b$). При таком положении электрон движется в области искривления поля почти с сохранением начальной продольной скорости влета (вдоль основного поля).

Сначала выведем формулу для приобретаемого поперечного импульса $\Delta p_\perp$.

Поперечный импульс

Поперечный импульс приобретается в области искривления поля. Интересуют только электроны влетающие так, чтобы не врезаться в проволоку.

Пусть электрон движется так, что его невозмущенная траектория проходит на расстоянии $y$ от середины промежутка между проволоками, а длина, которую он проходит в искривленном поле, представляет собой примерно отрезок и оборзначается $\chi$.

Тогда изменение импульса поперечного в искривленном поле

$$\Delta p_\perp = \int\limits_\chi E_\perp e\,dt,$$

где $E_\perp$ есть поперечная составляющая поля в искривленном поле (эта составляющая коллинеарна оси лежащей в плоскости проволок перпендикулярно им; в другом измерении, перпендикулярном продольному основному полю, нет поперечной составляющей из отсутствия различия распределения зарядов в обе стороны по такому измерению), $dt$ есть элемент времени движения по длине $\chi$.

С учетом $dt = dx/v$ ($dx$ есть элемент длины $\chi$) предыдущее переписывается

$$\boxed{\Delta p_\perp = \frac{e}{v}\int\limits_\chi E_\perp e\,dx.}$$

Теорема Гаусса

Интеграл или сумма в предыдущей формуле близка к понятию потока напряженности. Теорема Гаусса связывает просто потоки напряженности в симметричных случаях и дает, соответственно, в таких случаях искомые напряженности.

Представим, что электрон движется по $\chi$ как по грани параллелепипеда (далее называется фигурой). Опишем эту фигуру для использования теоремы Гаусса.

Одна грань фигуры лежит в плоскости проволок между проволоками на равном расстоянии от них, ее ребра параллельны и перепендикулярны проволокам. Еще $4$ грани лежат праллельно продольной скорости (основному продольному полю). И еще грань замыкает фигуру и располагается на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок (то есть там где поле только начинает плавно искривляться).

Размеры фигуры $y$ вдоль оси в плоскости проволок и перепендикулярной им, $\chi$ вдоль движения электрона, $z$ вдоль проволок.

По теореме Гаусса для этой фигуры

$$\boxed{\frac{V}{d}yz = 2z\int\limits_\chi E_\perp e\,dx,}$$

то есть по отсутствию заряда внутри фигуры модуль потока напряженности через грань на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок равен модулю потока напряженности через две(!) грани, имеющие поперечную составляющую поля через грани.

Итог

Для поперечного импульса с учетом результата по теореме Гаусса

$$\Delta p_\perp = \frac{e}{v}\frac{Vy}{2d},$$

и для него нужно найти максимум (тогда будет максимум и у поперечной кин. энергии)

Максимизировать можем только $y$, что дает

$$y_\max = a - b.$$

Тогда с учетом

$$\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{\Delta p_{\perp\text{max}}^2}{2m}$$

получаем ответ

$$\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{eV\left(a - b\right)^2}{16d^2}.$$

Как видно, это второй порядок малости по сравнению с энергией кинетической, с которой подлетает к проволокам электрон в такой модели ($a - b \ll d$).