← Формулы Савченко

2. ДинамикаФормулы Савченко, глава 2 из 14, 60 формул

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

2.1Законы Ньютона

Второй закон Ньютона Newton's second law

закон 2.1

m\vec a = \sum \vec F

\displaystyle \vec F = \frac{d\vec p}{dt}

\displaystyle a_x = \frac{\sum F_x}{m}

m: масса тела
$\vec a$: его ускорение
$\sum\vec F$: сумма всех сил, приложенных к телу

Ускорение тела пропорционально сумме приложенных к нему сил и обратно пропорционально массе. Уравнение векторное, его записывают в проекциях на удобно выбранные оси, для каждого тела системы отдельно. Оно верно в инерциальной системе отсчёта.

Сила трения скольжения Sliding friction

закон 2.1

тр$$F_{\text{тр}} = \mu N$$

трпокой$\displaystyle F_{\text{тр}} \le \mu N\ \text{(покой)}$

торможениенагоризонтали$\displaystyle a = \mu g\ \text{(торможение на горизонтали)}$

$\mu$: коэффициент трения
N: сила нормального давления
$тр$F_{\text{тр}}$$: сила трения

При скольжении сила трения равна $\mu N$ и направлена против относительной скорости. Пока тело покоится, трение покоя принимает любое значение до $\mu N$ и находится из условия равновесия, а не по формуле. На горизонтали $$N = mg$$ и тормозящее ускорение равно $\mu g$ .

Закон Гука Hooke's law

закон 2.1

$$F = -kx$$

\displaystyle F = k\,\Delta l

упр$\displaystyle E_{\text{упр}} = \frac{kx^2}{2}$

k: жёсткость пружины
x: удлинение или сжатие от недеформированной длины

Сила упругости пропорциональна деформации и направлена к положению равновесия. Знак минус означает возвращающую силу. Растянутая пружина тянет оба своих конца с одной и той же силой $$kx$$ .

Масса через плотность Mass from density

определение 2.1

m = \rho V

шар$\displaystyle m = \frac{4}{3}\pi r^3\rho\ \text{(шар)}$

стерженьстолбжидкости$\displaystyle m = \rho S l\ \text{(стержень, столб жидкости)}$

$\rho$: плотность
V: объём
S: площадь сечения

Массу однородного тела находят как плотность на объём, для шара $\frac{4}{3}\pi r^3\rho$ , для стержня или столба жидкости $\rho S l$ . Так же вводят массу выделенного элемента $dm = \rho\,dV$ .

Тело на наклонной плоскости с трением Body on a rough incline

закон 2.1

a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha), \qquad N = mg\cos\alpha

тр$\displaystyle F_{\text{тр}} = \mu mg\cos\alpha$

предельныйугол$\displaystyle \tan\alpha_0 = \mu\ \text{(предельный угол)}$

$\alpha$: угол наклона плоскости
$\mu$: коэффициент трения
N: реакция плоскости

Вдоль плоскости действуют $mg\sin\alpha$ и трение, поперёк $N = mg\cos\alpha$ . Тело сползает, если $\tan\alpha > \mu$ , и тогда его ускорение $g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ . При движении вверх трение прибавляется и торможение равно $g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ .

Связь ускорений в блоках Acceleration constraints of pulleys

метод 2.1

грузанити$$a_{\text{груза}} = \frac{a_{\text{нити}}}{2}$$

$нити$a_{\text{нити}}$$: ускорение свободного конца нити
$груза$a_{\text{груза}}$$: ускорение подвижного блока с грузом

Нить нерастяжима, поэтому её длина связывает координаты грузов, а дифференцирование этой связи связывает ускорения. Подвижный блок движется вдвое медленнее конца нити. При движении по наклонным поверхностям ускорения связаны через синус или тангенс угла.

Встречается в задачах (19) 1.1.10 1.4.15 1.4.18 1.5.1 2.1.25 2.1.30 2.1.31 2.1.46

Вращение на нити. Конический маятник Conical pendulum and rotation on a string

закон 2.1

T\sin\alpha = m\omega^2 R, \qquad T\cos\alpha = mg

\displaystyle \cos\alpha = \frac{g}{\omega^2 l}

наклонприповороте$\displaystyle \tan\alpha = \frac{v^2}{gR}\ \text{(наклон при повороте)}$

T: натяжение нити
$\alpha$: угол нити с вертикалью
R: радиус окружности
$\omega$: угловая скорость

Груз на нити движется по окружности, горизонтальная составляющая натяжения даёт центростремительное ускорение, вертикальная уравновешивает тяжесть. Отсюда угол отклонения нити и наклон велосипедиста, самолёта или дороги на повороте. Решение существует только при $\omega^2 l \ge g$ .

Встречается в задачах (17) 2.1.55 2.1.56 2.1.57 2.1.58 2.1.62 2.2.25 2.7.29 3.1.6

Система связанных тел Connected bodies

метод 2.1

a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}, \qquad T = \frac{2m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}

телатолкаютвместе$\displaystyle a = \frac{F}{m_1 + m_2}\ \text{(тела толкают вместе)}$

\displaystyle T = m_1(g + a)

m₁, m₂: массы тел
T: натяжение нити
a: общее ускорение

Для каждого тела записывают второй закон Ньютона со своими силами, нить даёт равное натяжение на обоих концах и одинаковое по модулю ускорение. Складывая уравнения, получают ускорение системы, подставляя обратно, натяжение. Так решают машину Атвуда, бруски на столе и грузы на блоках.

Встречается в задачах (12) 2.1.11 2.1.30 2.1.31 2.1.47 2.2.29 2.4.9 2.4.19 2.4.34

Вес при ускоренном движении Weight in an accelerating frame

закон 2.1

N = m(g \pm a)

невесомостьпри$\displaystyle N = 0\ \text{(невесомость при }a = g)$

внизуокружности$\displaystyle N = m\left(g + \frac{v^2}{R}\right)\ \text{(внизу окружности)}$

N: сила давления на опору или натяжение подвеса
a: ускорение тела, плюс при ускорении вверх

Вес есть сила, с которой тело давит на опору, и он отличается от $$mg$$ , когда опора ускоряется. При ускорении вверх вес больше $$mg$$ , при ускорении вниз меньше, а при свободном падении опоры равен нулю. То же для натяжения нити, на которой висит тело.

Встречается в задачах (11) 2.1.13 2.1.17 2.2.42 2.3.24 2.3.46 2.6.52 2.8.19 2.8.41

Третий закон Ньютона Newton's third law

закон 2.1

\vec F_{12} = -\vec F_{21}

$\vec F_{12}$: сила, с которой второе тело действует на первое
$\vec F_{21}$: сила, с которой первое действует на второе

Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Силы приложены к разным телам и потому не уравновешивают друг друга. Так натяжение одной нити одинаково тянет оба конца, а давление на опору равно силе реакции опоры.

Встречается в задачах (10) 2.1.50 2.1.52 2.2.23 2.2.24 2.3.38 2.4.1 2.7.25 4.1.3

Сопротивление среды Drag

закон 2.1

F = -\beta v, \qquad F = \alpha v^2

устустановившеесяпадение$\displaystyle v_{\text{уст}} = \frac{mg}{\beta}\ \text{(установившееся падение)}$

\displaystyle F = \frac{1}{2}C\rho S v^2

$\beta$: коэффициент вязкого сопротивления, для шара $6\pi\eta r$
$\alpha$: коэффициент лобового сопротивления
v: скорость относительно среды

Медленное движение в вязкой среде тормозится силой, пропорциональной скорости, быстрое силой, пропорциональной квадрату скорости и площади сечения. Падающее тело разгоняется, пока сопротивление не сравняется с тяжестью, дальше скорость постоянна.

Встречается в задачах (10) 2.1.34 2.1.35 2.1.36 2.1.37 2.1.38 2.1.60 2.2.38 2.4.38

Натяжение нити с массой Tension along a massive rope

закон 2.1

T(x) = F\left(1 - \frac{x}{l}\right)

вращающийсястерженьуоси$\displaystyle T = m\omega^2 L\ \text{(вращающийся стержень, у оси)}$

F: сила, приложенная к концу
x: расстояние от этого конца
l: длина нити или стержня

У нити с массой натяжение меняется вдоль длины, потому что каждый кусок нити разгоняет всё, что за ним. Выделяют элемент $dm = m\,dx/l$ или сразу отрезок и пишут для него второй закон Ньютона. У свободного конца натяжение равно нулю.

Встречается в задачах (8) 2.1.5 2.1.56 2.2.38 2.2.41 2.7.40 3.2.33 4.6.9 5.9.19

Соединение пружин Springs in series and in parallel

закон 2.1

послпар$$\frac{1}{k_{\text{посл}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}, \qquad k_{\text{пар}} = k_1 + k_2$$

k₁, k₂: жёсткости пружин
$посл$k_{\text{посл}}$$: жёсткость последовательного соединения
$пар$k_{\text{пар}}$$: жёсткость параллельного соединения

При последовательном соединении обе пружины растянуты одной силой и удлинения складываются, при параллельном у них общее удлинение и складываются силы. Половина пружины вдвое жёстче целой.

Встречается в задачах (5) 2.1.15 2.1.16 2.3.44 3.2.3 3.2.4

Элемент вращающегося кольца Element of a rotating ring

закон 2.1

2T\sin\frac{\Delta\varphi}{2} \approx T\,\Delta\varphi = \Delta m\,\omega^2 R

натяжениекольца$\displaystyle T = \frac{m\omega^2 R}{2\pi}\ \text{(натяжение кольца)}$

T: натяжение кольца или нити
$\Delta\varphi$: угол, стягиваемый элементом
$\Delta m$: его масса

Малый элемент кольца тянут два соседних участка, их равнодействующая при малом угле равна $T\Delta\varphi$ и направлена к центру. Она и сообщает элементу центростремительное ускорение, а с трением и тяжестью в уравнение входят и они.

Встречается в задачах (3) 2.1.60 2.1.61 9.3.9

Поворот на скорости. Трение и наклон дороги Turning at speed with friction

закон 2.1

v_{\max} = \sqrt{\mu g R}

наклоннаядорогабезтрения$\displaystyle v^2 = gR\tan\alpha\ \text{(наклонная дорога без трения)}$

\displaystyle v_{\max}^2 = gR\,\frac{\mu + \tan\alpha}{1 - \mu\tan\alpha}

$\mu$: коэффициент трения колёс о дорогу
R: радиус поворота
$\alpha$: угол наклона полотна дороги

На повороте центростремительное ускорение создаёт трение покоя, и оно не может превысить $\mu N$ . Отсюда наибольшая скорость $\sqrt{\mu g R}$ на горизонтальной дороге. Наклон полотна добавляет составляющую реакции опоры к центру и поднимает предел.

Встречается в задачах (2) 2.1.64 2.1.65

2.2Импульс. Центр масс

Закон сохранения импульса Conservation of momentum

закон 2.2

m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1\,' + m_2\vec v_2\,'

\displaystyle \sum\vec p = \text{const}

разлётизпокоя$\displaystyle m_1 v_1 = m_2 v_2\ \text{(разлёт из покоя)}$

m₁, m₂: массы тел
$\vec v_1, \vec v_2$: скорости до взаимодействия
$\vec v_1\,', \vec v_2\,'$: скорости после

Если внешние силы отсутствуют или их импульс за время взаимодействия мал, суммарный импульс системы не меняется. Закон векторный, его записывают в проекциях, и он может выполняться вдоль одной оси, когда вдоль другой действует внешняя сила. При ударе, взрыве и выстреле силы тяжести и трения за короткое время не успевают изменить импульс.

Импульс и импульс силы Momentum and impulse

закон 2.2

\vec p = m\vec v, \qquad \Delta\vec p = \vec F\,\Delta t

\displaystyle \vec F = \frac{d\vec p}{dt}

\displaystyle p = \sqrt{2mE_k}

$\vec p$: импульс тела
$\vec F$: средняя сила за время $\Delta t$
$\Delta t$: время действия силы

Изменение импульса тела равно импульсу приложенной силы. Так находят среднюю силу удара по изменению импульса и времени, и наоборот. Для сил, зависящих от времени, импульс силы есть интеграл, площадь под графиком $$F(t)$$ .

Движение центра масс Motion of the centre of mass

закон 2.2

внеш$$M\vec a_c = \sum \vec F_{\text{внеш}}$$

M: полная масса системы
$\vec a_c$: ускорение центра масс
$внеш$\vec F_{\text{внеш}}$$: внешние силы, внутренние не входят

Центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой всей системы под действием одних внешних сил. Внутренние силы, натяжения и удары между частями, на него не влияют. Если внешних сил нет вдоль какой-то оси, координата центра масс вдоль неё сохраняется.

Центр масс Centre of mass

определение 2.2

\vec r_c = \frac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i}

\displaystyle \vec v_c = \frac{\sum m_i\vec v_i}{\sum m_i}

двателаотцентрамасс$\displaystyle m_1 r_1 = m_2 r_2\ \text{(два тела, от центра масс)}$

$\vec r_i$: радиус-векторы тел
m_i: их массы
$\vec r_c$: радиус-вектор центра масс

Центр масс делит отрезок между двумя телами обратно пропорционально массам. Его скорость равна полному импульсу, делённому на полную массу, и в отсутствие внешних сил центр масс движется равномерно или покоится. У однородных фигур он в центре симметрии, у треугольника в точке пересечения медиан.

Сила потока Force of a stream

закон 2.2

F = \rho S v^2

\displaystyle \frac{dm}{dt} = \rho S v

струядогоняетстенку$\displaystyle F = \rho S v(u - v)\ \text{(струя догоняет стенку)}$

$\rho$: плотность потока
S: площадь сечения струи
v: скорость потока

За время $$dt$$ на преграду попадает масса $\rho S v\,dt$ с импульсом $\rho S v^2\,dt$ , и если поток останавливается, сила равна $\rho S v^2$ . При упругом отражении сила вдвое больше, при движущейся преграде в формулу входит относительная скорость.

Встречается в задачах (9) 2.2.21 2.2.28 2.2.33 2.2.35 2.2.38 2.2.39 2.4.43 3.6.20

Изменение импульса при повороте скорости Momentum change when the velocity turns

закон 2.2

|\Delta\vec p| = 2p\sin\frac{\alpha}{2}

упругийударостенкупонормали$\displaystyle \Delta p = 2mv\ \text{(упругий удар о стенку по нормали)}$

подугломкнормали$\displaystyle \Delta p = 2mv\cos\alpha\ \text{(под углом }\alpha\text{ к нормали)}$

p: модуль импульса, не меняющийся по величине
$\alpha$: угол поворота вектора скорости

Когда скорость только поворачивается, изменение импульса есть основание равнобедренного треугольника со сторонами $$p$$ и углом $\alpha$ между ними. При упругом отражении от стенки меняется лишь нормальная составляющая, и переданный стенке импульс равен $2mv\cos\alpha$ .

Встречается в задачах (5) 2.2.3 2.2.32 2.2.33 2.2.44 2.6.18

Реактивное движение. Формула Циолковского Rocket motion and Tsiolkovsky's formula

закон 2.2

v = u\ln\frac{M_0}{M}

тяги$\displaystyle F_{\text{тяги}} = \mu u$

\displaystyle M\frac{dv}{dt} = -u\frac{dM}{dt}

u: скорость истечения газов относительно ракеты
M₀, M: начальная и конечная массы
$\mu$: расход массы в единицу времени

За малое время ракета выбрасывает массу $$dm$$ со скоростью $$u$$ относительно себя, и сохранение импульса даёт $M\,dv = -u\,dM$ . Интегрирование даёт формулу Циолковского. Сила тяги равна расходу массы, умноженному на скорость истечения, и ракета взлетает, когда тяга превышает вес.

Встречается в задачах (4) 2.2.36 2.2.46 2.2.47 2.4.45

Цепь, падающая на стол Chain falling on a table

закон 2.2

N = 3\rho g x

$\rho$: масса цепи на единицу длины
x: длина уже упавшей части
N: сила давления на стол

Сила на стол складывается из веса лежащей части $\rho g x$ и силы, останавливающей прибывающие звенья. За $$dt$$ останавливается масса $\rho v\,dt$ со скоростью $v = \sqrt{2gx}$ , что даёт ещё $\rho v^2 = 2\rho g x$ . Вместе втрое больше веса упавшей части.

Встречается в задачах (1) 2.2.41

2.3Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Кинетическая энергия Kinetic energy

определение 2.3

E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m}

\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2

\displaystyle \Delta E_k = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}

m: масса
v: скорость
p: импульс

Кинетическая энергия тела зависит от квадрата скорости и потому от системы отсчёта. Через импульс она равна $$p^2/2m$$ , что удобно при ударах и распадах. Для системы тел кинетические энергии складываются.

Работа силы Work of a force

определение 2.3

A = \int \vec F\cdot d\vec r = Fs\cos\alpha

площадьподграфикомсилы$\displaystyle A = \int_{x_1}^{x_2} F_x\,dx\ \text{(площадь под графиком силы)}$

упр$\displaystyle A_{\text{упр}} = \frac{kx^2}{2}$

$\vec F$: сила
$d\vec r$: перемещение точки приложения
$\alpha$: угол между силой и перемещением

Работа есть скалярное произведение силы на перемещение, сумма по малым участкам пути. Сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает, трение совершает отрицательную. Для переменной силы работа равна площади под графиком $$F(x)$$ .

Потенциальная энергия в поле тяжести Potential energy in gravity

определение 2.3

$$E_p = mgh$$

тяж$\displaystyle A_{\text{тяж}} = -\Delta E_p = mg(h_1 - h_2)$

маятник$\displaystyle E_p = mgl(1 - \cos\alpha)\ \text{(маятник)}$

h: высота над выбранным нулевым уровнем
m: масса

Работа силы тяжести не зависит от пути и равна убыли $$mgh$$ , поэтому эту величину называют потенциальной энергией. Нулевой уровень выбирают произвольно, значение имеет только разность. Для протяжённого тела берут высоту его центра масс.

Энергия упругой деформации Elastic energy

определение 2.3

упр$$E_{\text{упр}} = \frac{kx^2}{2}$$

упр$\displaystyle A_{\text{упр}} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

растянутасилой$\displaystyle E = \frac{F^2}{2k}\ \text{(растянута силой }F)$

k: жёсткость
x: деформация от недеформированного состояния

Работа по растяжению пружины есть площадь под графиком $$F = kx$$ , треугольник с площадью $$kx^2/2$$ . Эта энергия возвращается при разгрузке. Через силу натяжения она равна $$F^2/2k$$ .

Закон сохранения механической энергии Conservation of mechanical energy

закон 2.3

\frac{mv^2}{2} + E_p = \text{const}

\displaystyle \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2

\displaystyle \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}

E_p: потенциальная энергия, $$mgh$$ или $$kx^2/2$$
v: скорость

Если работают только сила тяжести и упругости, а трения и неупругих ударов нет, сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется. Нормальная реакция и натяжение нерастяжимой нити работы не совершают. Уравнение записывают для двух положений, обычно начального и того, где что-то спрашивают.

Теорема о кинетической энергии Work-energy theorem

закон 2.3

всехсил$$A_{\text{всех сил}} = \Delta E_k$$

\displaystyle \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = A

тормознойпуть$\displaystyle s = \frac{v_0^2}{2\mu g}\ \text{(тормозной путь)}$

$всехсил$A_{\text{всех сил}}$$: работа всех сил, включая трение и реакции
$\Delta E_k$: изменение кинетической энергии

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех приложенных к нему сил. Это следствие второго закона Ньютона, удобное, когда сила известна как функция пути. Работа трения на пути $$s$$ равна $-\mu mgs$ , откуда тормозной путь $v_0^2/2\mu g$ .

Движение по вертикальной окружности Motion in a vertical circle

закон 2.3

верх$$T - mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}, \qquad v_{\text{верх}} \ge \sqrt{gR}$$

низчтобыпройтиверхнююточкунанити$\displaystyle v_{\text{низ}} \ge \sqrt{5gR}\ \text{(чтобы пройти верхнюю точку на нити)}$

отрывотгладкойсферы$\displaystyle h = \frac{2R}{3},\ \cos\alpha = \frac{2}{3}\ \text{(отрыв от гладкой сферы)}$

T: натяжение нити или реакция опоры
$\alpha$: угол от нижней точки
R: радиус

По нормали к окружности натяжение вместе с составляющей тяжести создаёт центростремительное ускорение, скорость в каждой точке даёт закон сохранения энергии. В верхней точке нить не провисает, пока $v^2 \ge gR$ , откуда внизу нужно $\sqrt{5gR}$ . Тело на гладкой сфере отрывается, когда реакция обращается в нуль, на высоте $$2R/3$$ от центра.

Встречается в задачах (13) 1.3.21 1.3.26 1.3.27 2.1.13 2.1.64 2.2.42 2.3.24 2.3.26

Сила и потенциальная энергия Force from potential energy

закон 2.3

F_x = -\frac{dU}{dx}

\displaystyle \vec F = -\nabla U

областьдвижения$\displaystyle E \ge U(x)\ \text{(область движения)}$

U: потенциальная энергия как функция координаты
F_x: проекция силы

Сила равна взятой с обратным знаком производной потенциальной энергии, она направлена в сторону убывания $$U$$ . Минимум $$U$$ есть положение устойчивого равновесия. Тело с полной энергией $$E$$ движется там, где $E \ge U$ , и останавливается в точках поворота, где $$E = U$$ .

Встречается в задачах (7) 2.3.37 2.3.38 2.3.39 2.3.40 2.4.24 2.4.32 10.2.2

Сохранение касательной составляющей скорости Conserved tangential velocity component

метод 2.3

v_1\sin\alpha_1 = v_2\sin\alpha_2

v₁, v₂: скорости до и после границы
$\alpha_1, \alpha_2$: углы скорости с нормалью к границе

Если сила действует только поперёк некоторой линии, составляющая скорости вдоль этой линии не меняется, а модуль скорости даёт закон сохранения энергии. Получается закон преломления для частиц, как для света с показателем $$v_2/v_1$$ .

Встречается в задачах (5) 1.4.7 1.4.9 2.3.20 2.3.21 12.2.3

2.4Энергия системы. Передача энергии. Мощность

Механическая энергия, перешедшая в тепло Mechanical energy turned into heat

закон 2.4

$$Q = E_1 - E_2$$

отнабсолютнонеупругийудар$\displaystyle Q = \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}\ \text{(абсолютно неупругий удар)}$

тр$\displaystyle Q = A_{\text{тр}}$

E₁, E₂: механическая энергия до и после
Q: выделившееся тепло

Убыль механической энергии при трении или неупругом ударе переходит во внутреннюю энергию, в тепло. Её находят как разность энергий до и после, а при неупругом ударе она равна кинетической энергии относительного движения. В ядерной реакции та же разность есть энергия реакции.

Энергия системы тел. Теорема Кёнига Energy of a system and König's theorem

закон 2.4

E_k = \frac{M v_c^2}{2} + E_k'

отндватела$\displaystyle E_k' = \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2},\quad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\ \text{(два тела)}$

внеш$\displaystyle \Delta E_k' + \Delta U = A_{\text{внеш}}'$

M: полная масса
v_c: скорость центра масс
$$E_k'$$: кинетическая энергия движения относительно центра масс
$\mu$: приведённая масса

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно него. Внутренние силы и удары меняют только вторую часть, и в неупругом ударе теряется именно она. Для двух тел она равна половине приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Встречается в задачах (15) 2.4.1 2.4.17 2.4.18 2.4.23 2.4.25 2.4.26 2.4.27 2.4.32

Мощность Power

определение 2.4

N = \frac{dA}{dt} = \vec F\cdot\vec v

постояннаямощность$\displaystyle A = Nt\ \text{(постоянная мощность)}$

струи$\displaystyle N_{\text{струи}} = \frac{\mu u^2}{2}$

N: мощность
A: работа за время $$t$$
$\vec F$: сила тяги
$\vec v$: скорость точки приложения силы

Мощность есть работа в единицу времени, для силы это её произведение на скорость. При постоянной мощности сила тяги падает с ростом скорости, и наибольшая скорость достигается, когда тяга сравнивается с сопротивлением. Мощность струи равна кинетической энергии, уносимой за секунду.

Встречается в задачах (13) 2.4.1 2.4.37 2.4.38 2.4.39 2.4.40 2.4.42 2.4.45 3.4.14

КПД Efficiency

определение 2.4

полезнзатр$$\eta = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{затр}}}$$

полезнзатр$\displaystyle \eta = \frac{N_{\text{полезн}}}{N_{\text{затр}}}$

$полезн$A_{\text{полезн}}$$: полезная работа или энергия
$затр$A_{\text{затр}}$$: затраченная работа или энергия

Коэффициент полезного действия есть доля затраченной энергии, ушедшая на нужное дело. Остальное теряется на трение, тепло и разгон отброшенной массы. Для реактивного движителя полезна работа над аппаратом, а часть энергии уносит струя.

Встречается в задачах (3) 2.4.44 5.9.13 5.9.14

2.5Столкновения

Упругий удар Elastic collision

закон 2.5

v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}

\displaystyle m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2',\quad \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2}

относительнаяскоростьменяетзнак$\displaystyle v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2)\ \text{(относительная скорость меняет знак)}$

m₁, m₂: массы
v₁, v₂: скорости до удара
$$v_1', v_2'$$: скорости после

При упругом ударе сохраняются и импульс, и кинетическая энергия. Для центрального удара из двух уравнений следует, что относительная скорость меняет знак, и отсюда скорости после удара. Равные массы обмениваются скоростями, а при нецентральном ударе равных масс разлетаются под прямым углом, $$p_0^2 = p_1^2 + p_2^2$$ .

Неупругий удар Inelastic collision

закон 2.5

(m_1 + m_2)\,u = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2

\displaystyle u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

\displaystyle Q = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)}(v_1 - v_2)^2

u: общая скорость после удара
Q: потерянная механическая энергия

При абсолютно неупругом ударе тела движутся дальше вместе, импульс сохраняется, а кинетическая энергия убывает на энергию относительного движения. Так слипаются шары, пуля застревает в бруске, вагоны сцепляются.

Встречается в задачах (12) 2.2.11 2.2.34 2.4.4 2.4.20 2.5.17 2.5.21 2.5.35 2.7.33

Треугольник импульсов Momentum triangle

метод 2.5

p_2^2 = p_0^2 + p_1^2 - 2p_0 p_1\cos\alpha

p₀: импульс до удара или распада
p₁, p₂: импульсы после
$\alpha$: угол между $\vec p_0$ и $\vec p_1$

Векторное равенство $\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2$ есть треугольник, и теорема косинусов связывает модули импульсов с углом разлёта. Вместе с сохранением энергии, записанным через $$p^2/2m$$ , это решает задачи о распадах и нецентральных ударах без проекций.

Встречается в задачах (7) 2.2.1 2.2.15 2.5.2 2.5.16 2.5.17 2.5.18 2.5.31

Система центра масс при ударе Centre-of-mass frame in a collision

метод 2.5

\vec v_{1c} = \vec v_1 - \vec v_c, \qquad m_1 \vec v_{1c} + m_2\vec v_{2c} = 0

$\vec v_c$: скорость центра масс
$\vec v_{1c}, \vec v_{2c}$: скорости тел относительно центра масс

В системе центра масс полный импульс равен нулю, тела летят навстречу с импульсами, равными по модулю, и при упругом ударе их скорости лишь поворачиваются, не меняясь по величине. Скорости в лабораторной системе получают, прибавив $\vec v_c$ . Отсюда угол разлёта и предельные углы рассеяния.

Встречается в задачах (2) 2.5.32 2.5.34

2.6Сила тяготения. Законы Кеплера

Закон всемирного тяготения Law of universal gravitation

закон 2.6

F = G\frac{Mm}{r^2}

\displaystyle \vec F = -G\frac{Mm}{r^3}\vec r

Нмкг$\displaystyle G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

M, m: массы тел
r: расстояние между их центрами
G: гравитационная постоянная

Две точечные массы притягиваются с силой, пропорциональной произведению масс и обратной квадрату расстояния. Однородный шар притягивает снаружи как точка в его центре, а внутри сферической оболочки сила равна нулю. Внутри однородного шара сила растёт пропорционально расстоянию от центра.

Потенциальная энергия тяготения Gravitational potential energy

определение 2.6

U = -\frac{GMm}{r}

подъёмна$\displaystyle \Delta U = \frac{GMmh}{R(R + h)}\ \text{(подъём на }h)$

потенциал$\displaystyle \varphi = -\frac{GM}{r}\ \text{(потенциал)}$

r: расстояние от центра притягивающего тела
M, m: массы

Нуль потенциальной энергии выбран на бесконечности, поэтому вблизи тела она отрицательна и растёт с удалением. При малых подъёмах $h \ll R$ разность сводится к $$mgh$$ . Работа по удалению тела на бесконечность равна $$GMm/r$$ .

Встречается в задачах (19) 2.6.22 2.6.23 2.6.26 2.6.27 2.6.28 2.6.29 2.6.30 2.6.32

Круговая орбита. Первая космическая скорость Circular orbit and the first cosmic velocity

закон 2.6

v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}

\displaystyle \frac{mv^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}

v₁: скорость кругового движения у поверхности, около 7,9 км/с для Земли
M, R: масса и радиус планеты или орбиты

На круговой орбите сила тяготения целиком идёт на центростремительное ускорение, откуда скорость $\sqrt{GM/r}$ и период $2\pi\sqrt{r^3/GM}$ . Скорость убывает с высотой орбиты, а период растёт. У самой поверхности она называется первой космической.

Встречается в задачах (17) 1.3.21 1.3.26 2.3.24 2.6.8 2.6.12 2.6.13 2.6.14 2.6.17

Энергия в поле тяготения Energy in a gravitational field

закон 2.6

\frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r} = E = -\frac{GMm}{2a}

\displaystyle v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)

круговаяорбита$\displaystyle E_k = -E,\quad U = 2E\ \text{(круговая орбита)}$

E: полная механическая энергия
a: большая полуось орбиты
r: текущее расстояние до центра

Сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется вдоль всей орбиты и определяется одной большой полуосью. На круговой орбите кинетическая энергия равна половине модуля потенциальной. Уравнение энергии для двух точек орбиты вместе с сохранением момента импульса даёт скорости в перигее и апогее.

Встречается в задачах (14) 2.6.25 2.6.26 2.6.28 2.6.29 2.6.33 2.6.34 2.6.35 2.6.37

Эллиптическая орбита Elliptical orbit

закон 2.6

2a = r_p + r_a, \qquad E = -\frac{GMm}{2a}

\displaystyle v_p r_p = v_a r_a,\quad \frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{r_p} = \frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a}

\displaystyle r = \frac{p}{1 + \varepsilon\cos\varphi}

r_p, r_a: расстояния в перигее и апогее
a: большая полуось
$\varepsilon$: эксцентриситет, $\varepsilon < 1$ для эллипса
p: параметр орбиты

Центральное тело сидит в фокусе эллипса, сумма расстояний до перигея и апогея равна большой оси. Скорости в этих точках находят из сохранения момента импульса и энергии. Полная энергия зависит только от большой полуоси, поэтому переход с орбиты на орбиту требует изменить именно её.

Встречается в задачах (14) 2.6.4 2.6.37 2.6.40 2.6.43 2.6.44 2.6.45 2.6.46 2.6.48

Третий закон Кеплера Kepler's third law

закон 2.6

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M + m)}}

\displaystyle \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

T: период обращения
a: большая полуось орбиты, радиус для окружности
M: масса центрального тела

Квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей. Для окружности это прямое следствие $$mv^2/r = GMm/r^2$$ , для эллипса то же с большой полуосью вместо радиуса. Падение на центр по прямой есть предельный эллипс с полуосью $$r/2$$ , и его время равно половине периода такой орбиты.

Встречается в задачах (12) 2.6.2 2.6.13 2.6.14 2.6.15 2.6.17 2.6.46 2.6.47 2.6.48

Ускорение свободного падения и масса планеты Free-fall acceleration and the mass of a planet

закон 2.6

g = \frac{GM}{R^2}, \qquad GM = gR^2

\displaystyle M = \frac{gR^2}{G}

\displaystyle g(h) = g\frac{R^2}{(R + h)^2}

g: ускорение свободного падения у поверхности
M, R: масса и радиус планеты

У поверхности планеты сила тяготения равна $$mg$$ , отсюда $$g = GM/R^2$$ . Это позволяет заменить произведение $$GM$$ на $$gR^2$$ , известное точнее, и находить массу планеты по $$g$$ и радиусу или по орбите спутника. С высотой $$g$$ убывает как $$1/r^2$$ .

Встречается в задачах (11) 2.6.3 2.6.4 2.6.7 2.6.8 2.6.11 2.6.22 2.6.28 2.6.48

Второй закон Кеплера. Сохранение момента импульса Kepler's second law and angular momentum

закон 2.6

L = m v r\sin\alpha = \text{const}, \qquad \frac{dS}{dt} = \frac{L}{2m}

\displaystyle v_p r_p = v_a r_a

секториальнаяскорость$\displaystyle \frac{dS}{dt} = \text{const}\ \text{(секториальная скорость)}$

L: момент импульса относительно центра
r: расстояние до центра
$\alpha$: угол между скоростью и радиус-вектором
S: площадь, заметаемая радиус-вектором

Сила тяготения направлена к центру и момента относительно него не создаёт, поэтому момент импульса сохраняется, а радиус-вектор заметает равные площади за равные времена. В перигее и апогее скорость перпендикулярна радиусу, и $$v_p r_p = v_a r_a$$ .

Встречается в задачах (8) 2.6.36 2.6.37 2.6.40 2.6.42 2.6.43 2.6.46 3.7.20 10.1.27

Вторая космическая скорость Escape velocity

закон 2.6

v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}\,v_1

\displaystyle \frac{mv_2^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0

\displaystyle v_2 = \sqrt{2gR}

v₂: наименьшая скорость ухода на бесконечность, около 11,2 км/с для Земли
M, R: масса и радиус планеты

Тело уходит на бесконечность, если его полная энергия неотрицательна, то есть кинетическая энергия не меньше $$GMm/R$$ . Скорость на бесконечности находят из того же баланса энергии. Тело с отрицательной полной энергией остаётся на замкнутой орбите.

Встречается в задачах (6) 2.6.24 2.6.25 2.6.26 2.6.29 2.6.32 2.6.50

2.7Вращение твердого тела

Момент инерции Moment of inertia

определение 2.7

I = \sum m_i r_i^2

кольцодискшар$\displaystyle I_{\text{кольцо}} = mR^2,\quad I_{\text{диск}} = \frac{mR^2}{2},\quad I_{\text{шар}} = \frac{2}{5}mR^2$

стерженьцентрконец$\displaystyle I_{\text{стержень}} = \frac{ml^2}{12}\ \text{(центр)},\quad \frac{ml^2}{3}\ \text{(конец)}$

m_i: массы частей тела
r_i: их расстояния до оси
I: момент инерции относительно оси

Момент инерции есть мера инертности при вращении, сумма произведений масс на квадраты расстояний до оси. Он зависит от выбора оси. Для составного тела моменты инерции частей относительно одной оси складываются.

Основное уравнение динамики вращения Equation of rotational motion

закон 2.7

I\varepsilon = M

\displaystyle M = \frac{dL}{dt}

точканаободе$\displaystyle a = \varepsilon R\ \text{(точка на ободе)}$

I: момент инерции относительно оси
$\varepsilon$: угловое ускорение
M: суммарный момент сил относительно оси

Угловое ускорение тела вокруг закреплённой оси равно моменту сил, делённому на момент инерции, как ускорение точки равно силе, делённой на массу. Момент силы есть сила на плечо. Для катящегося тела уравнение вращения дополняют уравнением движения центра масс и связью $a = \varepsilon R$ .

Кинетическая энергия вращения Rotational kinetic energy

определение 2.7

E_k = \frac{I\omega^2}{2}

качение$\displaystyle E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}\ \text{(качение)}$

\displaystyle E_k = \frac{L^2}{2I}

I: момент инерции относительно оси вращения
$\omega$: угловая скорость
L: момент импульса

Энергия вращения складывается из энергий всех точек $m_i(\omega r_i)^2/2$ . Катящееся тело имеет и поступательную, и вращательную энергию, поэтому шар и кольцо с одной скоростью центра несут разную энергию и скатываются с разными ускорениями.

Встречается в задачах (13) 2.1.41 2.4.18 2.4.19 2.7.1 2.7.2 2.7.5 2.7.21 2.7.22

Момент импульса и его сохранение Angular momentum and its conservation

закон 2.7

L = I\omega, \qquad \frac{dL}{dt} = M

\displaystyle I_1\omega_1 = I_2\omega_2

ударпосвободномутелу$\displaystyle mvh = I\omega\ \text{(удар по свободному телу)}$

L: момент импульса относительно оси
I: момент инерции
M: момент внешних сил

Когда момент внешних сил относительно оси равен нулю, момент импульса сохраняется, а при изменении момента инерции меняется угловая скорость. При ударе по свободному телу сохраняются и импульс, и момент импульса относительно центра масс, и импульс удара $$mvh$$ переходит во вращение.

Встречается в задачах (12) 2.6.36 2.7.23 2.7.27 2.7.31 2.7.33 2.7.34 2.7.35 2.7.36

Равноускоренное вращение Uniformly accelerated rotation

закон 2.7

\varphi = \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2}, \qquad \omega^2 - \omega_0^2 = 2\varepsilon\varphi

$\varphi$: угол поворота
$\omega_0, \omega$: начальная и текущая угловые скорости
$\varepsilon$: угловое ускорение

Вращение с постоянным угловым ускорением описывают те же формулы, что и равноускоренное движение, с углом вместо пути. Число оборотов до остановки равно $\omega_0^2/4\pi\varepsilon$ .

Встречается в задачах (6) 2.1.63 2.7.3 2.7.4 2.7.6 2.7.7 2.7.21

Скатывание с наклонной плоскости Rolling down an incline

закон 2.7

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + I/(mR^2)}

шарцилиндркольцо$\displaystyle a_{\text{шар}} = \frac{5}{7}g\sin\alpha,\quad a_{\text{цилиндр}} = \frac{2}{3}g\sin\alpha,\quad a_{\text{кольцо}} = \frac{1}{2}g\sin\alpha$

трениепокоя$\displaystyle f = \frac{mg\sin\alpha}{1 + mR^2/I}\ \text{(трение покоя)}$

I: момент инерции относительно оси симметрии
$\alpha$: угол наклона
f: сила трения покоя, создающая вращение

При качении без проскальзывания трение покоя не совершает работы, и ускорение получают из уравнений движения центра и вращения либо из закона сохранения энергии. Тело с большим моментом инерции скатывается медленнее. Качение возможно, пока нужное трение не превышает $\mu N$ .

Встречается в задачах (4) 2.7.12 2.7.13 2.7.14 2.7.19

Переход от скольжения к качению From sliding to rolling

метод 2.7

v = \mu g t, \qquad \omega = \omega_0 - \frac{\mu g t}{R}

моменткогдаскольжениепрекращается$\displaystyle v = \omega R\ \text{(момент, когда скольжение прекращается)}$

$\mu$: коэффициент трения
$\omega_0$: начальная угловая скорость
R: радиус

Пока тело проскальзывает, трение скольжения $\mu mg$ разгоняет центр и тормозит вращение, пока скорость центра не сравняется с $\omega R$ . С этого момента трение покоя и движение равномерное. Потерянная энергия идёт в тепло.

Встречается в задачах (4) 2.7.21 2.7.22 2.7.23 2.7.24

Теорема Штейнера Parallel axis theorem

закон 2.7

$$I = I_c + m d^2$$

I_c: момент инерции относительно оси через центр масс
d: расстояние между параллельными осями
m: масса тела

Момент инерции относительно любой оси равен моменту относительно параллельной оси через центр масс плюс $$md^2$$ . Так из $$ml^2/12$$ для середины стержня получают $$ml^2/3$$ для его конца, а для катящегося колеса момент относительно точки касания $$I_c + mR^2$$ .

Встречается в задачах (3) 2.7.19 2.7.42 2.7.44

Работа и мощность момента сил Work and power of a torque

закон 2.7

A = M\varphi, \qquad N = M\omega

M: момент силы относительно оси
$\varphi$: угол поворота
$\omega$: угловая скорость

Работа момента сил при повороте равна моменту на угол, как работа силы равна силе на путь. Мощность вращающего двигателя есть момент на угловую скорость. Так считают работу трения в подшипнике или на тормозной колодке.

Встречается в задачах (2) 2.7.8 2.7.48

2.8Статика

Условия равновесия твёрдого тела Equilibrium of a rigid body

закон 2.8

\sum \vec F = 0, \qquad \sum M = 0

правилорычага$\displaystyle F_1 l_1 = F_2 l_2\ \text{(правило рычага)}$

моментсилы$\displaystyle M = F l\sin\alpha\ \text{(момент силы)}$

$\sum\vec F$: сумма всех сил, приложенных к телу
$\sum M$: сумма моментов сил относительно любой точки
l: плечо силы, расстояние от оси до линии действия

Тело покоится, когда равны нулю и сумма сил, и сумма их моментов относительно любой точки. Точку для моментов выбирают так, чтобы неизвестные силы проходили через неё и выпадали из уравнения. Три силы, удерживающие тело, пересекаются в одной точке или параллельны.

Трение каната о цилиндр Rope friction on a cylinder

закон 2.8

F = F_0 e^{\mu\theta}

\displaystyle \ln\frac{F}{F_0} = \mu\theta

витков$\displaystyle F = F_0 e^{2\pi\mu n}\ \text{(}n\text{ витков)}$

F₀, F: натяжения на двух концах
$\mu$: коэффициент трения каната о цилиндр
$\theta$: угол охвата в радианах

Элемент каната прижат к цилиндру силой $F\,d\theta$ , и трение на нём равно $\mu F\,d\theta$ , поэтому натяжение растёт вдоль охвата в геометрической прогрессии. Один виток при $\mu = 0{,}5$ удерживает силу в $e^{\pi}$ раз, около 23, большую.

Встречается в задачах (12) 2.1.45 2.2.46 2.2.47 2.8.16 2.8.17 3.5.20 4.2.22 5.8.14