Задача 8.2.19^∗

Решение

Линии тока всегда направлены перпендикулярно эквипотенциальным линиям в сторону уменьшения потенциала: от электрода с большим потенциалом к электроду с меньшим. Это следует из связи напряженности поля с градиентом потенциала $\vec E=-\vec \nabla \varphi$ и закона Ома в дифференциальной форме $\vec j=\sigma\vec E$

Модуль плотности тока определяется густотой расположения эквипотенциалей. Для двух близких линий с разностью потенциалов $\Delta \varphi$, измерив кратчайшее расстояние между ними $\Delta n$ по нормали, находим:

$$j\approx \sigma\frac{\Delta\varphi}{\Delta n}$$

Где линии на карте расположены ближе друг к другу, там напряженность поля и плотность тока выше.

Причина совпадения полей в воде и вакууме объясняется электростатической аналогией между задачей стационарной проводимости и электростатической задачей в вакууме.

В установившемся режиме постоянного тока в однородной проводящей воде $\sigma=\text{const}$ нет накопления объемных зарядов, поэтому из закона сохранения заряда $\nabla\cdot\vec j=0$ следует уравнение Лапласа:

$$\vec j=\sigma\vec E\Rightarrow \nabla\cdot \vec j=\sigma\nabla \vec E\Rightarrow 0=\nabla \cdot (-\nabla \varphi)\Rightarrow \nabla ^{2}\varphi=0$$

В вакууме между электродами объемный заряд также равен нулю, и поле описывается точно таким же уравнением Лапласа.

Поскольку медные электроды обладают огромной проводимостью, их поверхности эквипотенциальны. При одинаковом напряжении граничные условия для уравнений в воде и в вакууме совпадают.

Согласно теореме единственности, одинаковые уравнения при одинаковых граничных условиях дают идентичные распределения потенциала $\varphi(x,y,z)$ и конфигурации линий поля.