← Формулы Савченко

8. Электрический токФормулы Савченко, глава 8 из 14, 23 формулы

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

8.1Ток. Плотность тока. Ток в вакууме

Сила тока Electric current

определение 8.1

I = \frac{dq}{dt}, \qquad q = \int I\,dt

зарядпробегающийконтурдлинысоскоростью$\displaystyle I = \frac{qv}{l}\ \text{(заряд }q\text{, пробегающий контур длины }l\text{ со скоростью }v)$

электроннаорбите$\displaystyle I = \frac{e\omega}{2\pi}\ \text{(электрон на орбите)}$

I: сила тока
$$dq$$: заряд, прошедший через сечение за время $$dt$$

Ток есть заряд, проходящий через сечение проводника в единицу времени. Движущийся по кольцу заряд создаёт средний ток $$q/T$$ , а заряд, пролетающий между обкладками, ток $$qv/d$$ в проводе, соединяющем обкладки. При постоянном токе прошедший заряд равен $$It$$ , при переменном интегралу.

Плотность тока и скорость носителей Current density and carrier velocity

определение 8.1

j = \frac{I}{S} = nev, \qquad I = neSv

плотностьзарядавпучке$\displaystyle \rho = \frac{j}{v}\ \text{(плотность заряда в пучке)}$

одинэлектроннаатом$\displaystyle n = \frac{\rho N_A}{M}\ \text{(один электрон на атом)}$

j: плотность тока
n: концентрация носителей
v: средняя скорость их направленного движения
S: площадь сечения

Через площадку $$S$$ за секунду проходят носители из цилиндра длиной $$v$$ , всего $$nSv$$ штук с зарядом $$e$$ каждый. В металле на атом приходится около одного свободного электрона, отсюда $n \sim 10^{29}$ м $^{-3}$ и скорость дрейфа при обычных токах доли миллиметра в секунду. В пучке плотность заряда равна $$j/v$$ , поэтому там, где частицы медленнее, заряда больше.

Встречается в задачах (19) 8.1.4 8.1.5 8.1.6 8.1.7 8.1.8 8.1.10 8.1.11 8.1.16

Ток, ограниченный пространственным зарядом Space-charge-limited current

закон 8.1

\frac{d^2\varphi}{dx^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad j = \rho v, \qquad \frac{mv^2}{2} = e\varphi, \qquad I \propto U^{3/2}

законтрёхвторых$\displaystyle j = \frac{4\varepsilon_0}{9}\sqrt{\frac{2e}{m}}\,\frac{U^{3/2}}{d^2}\ \text{(закон трёх вторых)}$

$\varphi$: потенциал между катодом и анодом
$\rho$: плотность заряда электронов
v: их скорость, из $mv^2/2 = e\varphi$
U: анодное напряжение

В вакуумном диоде электроны сами создают поле, и ток находится из трёх уравнений вместе, уравнения Пуассона для потенциала, $j = \rho v$ и закона сохранения энергии для скорости. Решение степенное, $\varphi \propto x^{4/3}$ , и ток растёт как $U^{3/2}$ , пока катод даёт достаточно электронов. Из подобия следует, что при увеличении напряжения в $$n$$ раз ток растёт в $n^{3/2}$ раз при любой геометрии электродов.

Встречается в задачах (6) 8.1.12 8.1.13 8.1.16 8.1.17 8.1.18 8.2.10

Ток движущегося заряженного тела Current of a moving charged body

закон 8.1

I = \sigma v\,b, \qquad \sigma = \varepsilon_0 E

$\sigma$: поверхностная плотность заряда на ленте или пластине
v: скорость движения
b: ширина ленты
E: поле у заряженной поверхности, $\sigma/\varepsilon_0$

Движущийся заряд есть ток, и через любое неподвижное сечение за секунду проходит заряд, лежащий на отрезке длины $$v$$ . Лента с поверхностной плотностью $\sigma$ несёт ток $\sigma v b$ , диск с зарядом $$q$$ при вращении ток $q\omega/2\pi$ . Плотность заряда на металлической ленте берут из поля у её поверхности, $\sigma = \varepsilon_0 E$ , поверхность диэлектрика в конденсаторе несёт связанный заряд $\varepsilon_0(\varepsilon-1)E$ .

Встречается в задачах (5) 6.2.3 6.3.15 8.1.3 8.4.19 14.3.1

8.2Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС

Закон Ома в дифференциальной форме Ohm's law in local form

закон 8.2

\vec j = \lambda\vec E = \frac{\vec E}{\rho}

модельДруде$\displaystyle \lambda = \frac{ne^2\tau}{m}\ \text{(модель Друде)}$

\displaystyle \vec E = \rho\vec j

$\vec j$: плотность тока
$\lambda$: удельная проводимость
$\rho$: удельное сопротивление, $1/\lambda$
$\vec E$: поле внутри проводника

В проводнике с током поле не равно нулю, а пропорционально плотности тока, и коэффициент есть свойство материала. Внутри стационарного тока $\operatorname{div}\vec j = 0$ , и вместе с $\vec j = \lambda\vec E$ это даёт распределение тока в объёмных проводниках как задачу электростатики. Напряжение между точками есть $\int \vec E\cdot d\vec l$ по любому пути внутри проводника. В модели Друде проводимость выражена через время свободного пробега электронов.

Встречается в задачах (13) 8.2.1 8.2.3 8.2.7 8.2.8 8.2.9 8.2.10 8.2.11 8.2.13

Сопротивление проводника Resistance of a conductor

закон 8.2

R = \rho\frac{l}{S} = \frac{l}{\lambda S}

междуконцентрическимисферами$\displaystyle R = \frac{1}{4\pi\lambda}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\ \text{(между концентрическими сферами)}$

температурнаязависимость$\displaystyle R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]\ \text{(температурная зависимость)}$

$\rho$: удельное сопротивление
l: длина проводника
S: площадь сечения
$\alpha$: температурный коэффициент сопротивления

Сопротивление растёт с длиной и падает с сечением, потому что при одном токе поле $j/\lambda$ набирается по длине, а плотность тока $$I/S$$ падает с площадью. Проводник переменного сечения режут на слои и складывают их сопротивления, так получается сопротивление между сферами или коаксиальными цилиндрами. При растяжении проволоки без изменения объёма сопротивление растёт как квадрат длины, у металлов оно растёт с температурой.

Встречается в задачах (10) 8.2.4 8.2.13 8.2.14 8.2.16 8.2.17 8.2.20 8.2.21 8.3.48

Ток на границе двух сред Current at the boundary of two media

закон 8.2

j_{1n} = j_{2n}, \qquad \sigma = \varepsilon_0 j_n\left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right), \qquad \frac{\tan\alpha_1}{\tan\alpha_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}

j_n: нормальная к границе плотность тока, одна с обеих сторон
$\lambda_1, \lambda_2$: проводимости сред
$\sigma$: поверхностный заряд на границе
$\alpha$: угол между линиями тока и нормалью

Стационарный ток не накапливает заряд, поэтому нормальная составляющая $$j$$ непрерывна, а поле $j/\lambda$ по обе стороны разное. Скачок $$E_n$$ означает поверхностный заряд $\varepsilon_0(E_{2n} - E_{1n})$ на границе, и такой же объёмный заряд появляется всюду, где проводимость меняется вдоль тока. Касательная составляющая $$E$$ непрерывна, отсюда преломление линий тока с тангенсами углов, относящимися как проводимости.

Встречается в задачах (8) 6.4.11 6.5.3 6.6.5 6.6.12 8.2.8 8.2.9 8.2.10 8.2.19

Электродвижущая сила Electromotive force

определение 8.2

сторстор$$\mathcal{E} = \oint \vec E_{\text{стор}}\cdot d\vec l = \frac{A_{\text{стор}}}{q}$$

химгальваническийэлемент$\displaystyle \mathcal{E} = \frac{\Delta E_{\text{хим}}}{q}\ \text{(гальванический элемент)}$

$\mathcal{E}$: ЭДС источника
$стор$\vec E_{\text{стор}}$$: напряжённость сторонних сил на единицу заряда
$стор$A_{\text{стор}}$$: работа сторонних сил при переносе заряда $$q$$ по контуру

Электростатическое поле потенциально и не может гнать ток по замкнутому контуру, для этого нужны сторонние силы, химические, магнитные или силы инерции, и их работа на единицу заряда есть ЭДС. У гальванического элемента ЭДС равна энергии реакции на переносимый заряд, у раскручиваемого проводника определяется силой инерции на электрон. Полезная мощность источника равна $\mathcal{E}I$ .

Встречается в задачах (5) 8.2.4 8.2.29 8.2.30 11.1.32 12.1.7

Релаксация заряда в проводящей среде Charge relaxation in a conducting medium

закон 8.2

\frac{dQ}{dt} = -\frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0\rho}, \qquad Q = Q_0 e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \varepsilon\varepsilon_0\rho = RC

Q: заряд шара или обкладки
$\rho$: удельное сопротивление среды
$\varepsilon$: её диэлектрическая проницаемость
$\tau$: время релаксации

Заряд в слабо проводящей среде стекает током $j = E/\rho$ , а поле само создано этим зарядом, $E = Q/4\pi\varepsilon\varepsilon_0 r^2$ у шара, откуда ток $Q/\varepsilon\varepsilon_0\rho$ не зависит от размера и заряд убывает по экспоненте. Для любого конденсатора, заполненного такой средой, произведение $$RC$$ равно $\varepsilon\varepsilon_0\rho$ , так как $$R$$ и $$C$$ считаются по одной геометрии.

Встречается в задачах (3) 8.2.11 8.2.20 8.2.21

Мощность, отдаваемая током Power delivered through a current

закон 8.2

F v = I^2 R, \qquad I = \frac{qv}{l}, \qquad \varphi = IR

F: сила, движущая заряженное тело вдоль проводника
v: его установившаяся скорость
q: заряд тела
l: длина контура
R: сопротивление контура

Если заряженное тело тянут вдоль замкнутого проводника, в нём идёт ток $$qv/l$$ , и вся работа силы уходит в джоулево тепло. Приравнивая механическую мощность $$Fv$$ электрической $$I^2R$$ , находят установившуюся скорость и напряжение на кольце. Это модель источника тока, в котором стороннюю силу создаёт внешнее тело.

Встречается в задачах (3) 8.2.24 8.2.25 11.1.32

Электролиз Electrolysis

закон 8.2

Q = It, \qquad \nu = \frac{Q}{zeN_A} = \frac{It}{zF}, \qquad m = \frac{M\,It}{zF}

Q: прошедший заряд
z: валентность, число электронов на ион
F: постоянная Фарадея, $$eN_A = 96500$$ Кл/моль
M: молярная масса вещества

Каждый ион, разряжаясь на электроде, переносит $$ze$$ заряда, поэтому число выделившихся молей пропорционально прошедшему заряду. Моль одновалентного вещества требует заряда $$F$$ . Этим измеряют и заряд электрона, зная число Авогадро.

Встречается в задачах (1) 8.2.31

8.3Электрические цепи

Закон Ома для участка цепи Ohm's law for a circuit segment

закон 8.3

I = \frac{U}{R}, \qquad U = \varphi_1 - \varphi_2 = IR

делительнапряжения$\displaystyle U_1 = U\frac{R_1}{R_1 + R_2}\ \text{(делитель напряжения)}$

I: ток через участок
U: напряжение на его концах
R: его сопротивление

Ток через однородный участок пропорционален приложенному напряжению, и это же соотношение определяет напряжение на элементе, по которому течёт известный ток. Через один и тот же ток напряжения на последовательных участках относятся как сопротивления, а на параллельных токи обратно пропорциональны сопротивлениям. Вольтметр с сопротивлением $$R_V$$ показывает $$IR_V$$ и сам пропускает ток.

Правила Кирхгофа Kirchhoff's rules

закон 8.3

узелконтурконтур$$\sum_{\text{узел}} I_k = 0, \qquad \sum_{\text{контур}} I_kR_k = \sum_{\text{контур}}\mathcal{E}_k$$

I_k: токи в ветвях, сходящихся в узле или образующих контур
R_k: сопротивления ветвей контура
$\mathcal{E}_k$: ЭДС в контуре, со знаком по направлению обхода

В узле заряд не накапливается, поэтому сумма втекающих токов равна сумме вытекающих. Вдоль любого замкнутого контура сумма падений напряжения $$IR$$ равна сумме ЭДС, потому что потенциал возвращается к прежнему значению. Число независимых уравнений равно числу неизвестных токов, а для симметричных схем узлы с равными потенциалами соединяют, чтобы упростить сеть.

Встречается в задачах (17) 8.3.6 8.3.11 8.3.14 8.3.15 8.3.17 8.3.23 8.3.25 8.3.27

Мощность тока. Закон Джоуля Ленца Electric power. Joule heating

закон 8.3

P = IU = I^2R = \frac{U^2}{R}, \qquad Q = I^2Rt

мощностьвединицеобъёма$\displaystyle w = \vec j\cdot\vec E = \lambda E^2\ \text{(мощность в единице объёма)}$

иствнутр$\displaystyle P_{\text{ист}} = \mathcal{E}I, \qquad P_{\text{внутр}} = I^2 r$

P: мощность, выделяемая на участке
I: ток
U: напряжение на участке
Q: выделившееся тепло за время $$t$$

За время $$t$$ через участок проходит заряд $$It$$ , и поле совершает над ним работу $$UIt$$ , которая на резисторе целиком идёт в тепло. Источник отдаёт мощность $\mathcal{E}I$ , из неё $$I^2r$$ греет сам источник. Из трёх записей выбирают ту, где известна нужная величина, при последовательном соединении тепло делится пропорционально сопротивлениям, при параллельном обратно пропорционально. В объёмном проводнике мощность на единицу объёма равна $\lambda E^2$ .

Встречается в задачах (16) 3.5.10 5.9.13 8.2.25 8.3.34 8.3.38 8.3.40 8.3.42 8.3.43

Соединение сопротивлений Resistors in series and in parallel

закон 8.3

послпар$$R_{\text{посл}} = R_1 + R_2, \qquad \frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

пар$\displaystyle R_{\text{пар}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

бесконечнаяцепочка$\displaystyle R = \frac{R_0}{2}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_1}{R_0}}\right)\ \text{(бесконечная цепочка)}$

R₁, R₂: соединяемые сопротивления
$посл$R_{\text{посл}}$$: последовательное соединение, общий ток
$пар$R_{\text{пар}}$$: параллельное, общее напряжение

При последовательном соединении общий ток и складываются напряжения, при параллельном общее напряжение и складываются токи. Сложную схему упрощают, объединяя точки равного потенциала и выбрасывая ветви без тока, а бесконечную цепочку считают, заметив, что добавление звена её не меняет. Добавочное сопротивление к вольтметру и шунт к амперметру расширяют пределы приборов.

Встречается в задачах (13) 2.6.37 8.2.14 8.3.3 8.3.10 8.3.11 8.3.14 8.3.15 8.3.23

Закон Ома для полной цепи Ohm's law for a closed circuit

закон 8.3

I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}, \qquad U = \mathcal{E} - Ir

кзтоккороткогозамыкания$\displaystyle I_{\text{кз}} = \frac{\mathcal{E}}{r}\ \text{(ток короткого замыкания)}$

призарядкеисточника$\displaystyle U = \mathcal{E} + Ir\ \text{(при зарядке источника)}$

$\mathcal{E}$: ЭДС источника
r: его внутреннее сопротивление
R: сопротивление внешней цепи
U: напряжение на зажимах

Ток в замкнутой цепи определяется ЭДС и суммой всех сопротивлений, включая внутреннее сопротивление источника. Напряжение на зажимах меньше ЭДС на падение $$Ir$$ внутри источника и равно ЭДС только без нагрузки, а при токе, текущем внутрь, больше ЭДС. Несколько источников в одном контуре складывают ЭДС с учётом знаков, и внутреннее сопротивление находят из двух измерений тока и напряжения.

Встречается в задачах (10) 8.3.5 8.3.16 8.3.17 8.3.30 8.3.38 8.3.42 8.3.43 8.3.44

Наибольшая мощность во внешней цепи. КПД источника Maximum power transfer. Efficiency of a source

закон 8.3

при$$P = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}, \qquad P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}\ \text{при}\ R = r, \qquad \eta = \frac{R}{R + r}$$

R: внешнее сопротивление
r: внутреннее сопротивление источника
$\eta$: доля мощности источника, доходящая до нагрузки

Мощность в нагрузке $$I^2R$$ при $I = \mathcal{E}/(R+r)$ имеет максимум при $$R = r$$ , когда половина мощности источника греет его самого и КПД равен половине. При $R \gg r$ КПД близок к единице, но мощность мала. Две нагрузки, дающие одну и ту же мощность, связаны соотношением $$R_1R_2 = r^2$$ .

Встречается в задачах (9) 2.8.3 4.5.17 5.9.22 6.3.10 8.3.35 8.3.40 8.3.42 8.4.10

Тепловой баланс проводника с током Thermal balance of a current-carrying conductor

закон 8.3

I^2R(T) = \kappa\,(T - T_0), \qquad R(T) = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]

нитьлампыизлучение$\displaystyle I^2 R = \sigma S T^4\ \text{(нить лампы, излучение)}$

нагревбезотводатепла$\displaystyle I^2Rt = cm\,\Delta T\ \text{(нагрев без отвода тепла)}$

$\kappa$: коэффициент теплоотдачи, мощность на градус
T₀: температура среды
$\alpha$: температурный коэффициент сопротивления

Установившаяся температура проводника та, при которой джоулево тепло равно отводимому, через теплопроводность и конвекцию пропорционально $$T - T_0$$ , через излучение как $$T^4$$ . Поскольку сопротивление металла растёт с нагревом, при заданном токе выделение растёт вместе с температурой, и если $\kappa < I^2R_0\alpha$ , равновесия нет и проводник перегорает. Без отвода тепла нагрев считают по $cm\,\Delta T$ .

Встречается в задачах (1) 8.3.48

8.4Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях

Зарядка и разрядка конденсатора через сопротивление Charging and discharging a capacitor through a resistor

закон 8.4

R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = \mathcal{E}, \qquad q = C\mathcal{E}\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad \tau = RC

\displaystyle q = q_0 e^{-t/RC}, \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}

времяразрядкидо$\displaystyle t = RC\ln\frac{U_0}{U}\ \text{(время разрядки до }U)$

q: заряд конденсатора
$\mathcal{E}$: ЭДС источника
$\tau$: постоянная времени $$RC$$

Ток в цепи равен $(\mathcal{E} - q/C)/R$ и убывает по мере зарядки, поэтому заряд подходит к $C\mathcal{E}$ по экспоненте с постоянной времени $$RC$$ . При разрядке ток пропорционален оставшемуся заряду, и он убывает по той же экспоненте. За время $$RC$$ величины меняются в $$e$$ раз, и за несколько постоянных времени процесс практически заканчивается.

Встречается в задачах (9) 6.3.38 8.1.16 8.2.21 8.4.8 8.4.15 8.4.17 11.1.17 11.2.10

Конденсатор в цепи постоянного тока Capacitor in a steady-current circuit

метод 8.4

I_C = 0, \qquad U_C = \varphi_A - \varphi_B, \qquad q = CU_C

I_C: ток через ветвь с конденсатором в установившемся режиме
U_C: напряжение на конденсаторе, равное разности потенциалов узлов, к которым он подключён

Когда токи установились, через конденсатор ток не идёт, и его ветвь можно выбросить, найти потенциалы узлов по законам Ома и Кирхгофа, а потом вернуть конденсатор и взять напряжение между его узлами. Заряд, прошедший через источник при переключении, равен изменению заряда конденсатора, а тепло находят из баланса энергии. Если конденсатор периодически заряжают и разряжают, средние токи считают по переносимому за цикл заряду.

Встречается в задачах (9) 6.6.8 8.2.34 8.4.4 8.4.7 8.4.9 8.4.10 8.4.13 8.4.14

Энергетический баланс при зарядке конденсатора Energy balance when charging a capacitor

закон 8.4

ист$$A_{\text{ист}} = \mathcal{E}\,q = C\mathcal{E}^2, \qquad W = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}, \qquad Q = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}$$

дозарядкаотдо$\displaystyle Q = \frac{C(\mathcal{E} - U_0)^2}{2}\ \text{(дозарядка от }U_0\text{ до }\mathcal{E})$

тепловпоследовательныхрезисторах$\displaystyle Q_1 : Q_2 = R_1 : R_2\ \text{(тепло в последовательных резисторах)}$

$ист$A_{\text{ист}}$$: работа источника, ЭДС на прошедший заряд
W: энергия, запасённая в конденсаторе
Q: тепло в проводах, при любом сопротивлении

Источник с постоянной ЭДС совершает работу $\mathcal{E}q$ , а конденсатор запасает лишь половину, $$q^2/2C$$ , и вторая половина уходит в тепло независимо от сопротивления цепи, потому что при малом $$R$$ ток больше, но время короче. Зарядка ступенями, малыми порциями напряжения, уменьшает потери, в пределе до нуля. Тепло между последовательными резисторами делится пропорционально сопротивлениям, ток в них один.

Встречается в задачах (7) 6.6.27 8.4.5 8.4.6 8.4.7 8.4.8 8.4.9 8.4.10

Нелинейный элемент в цепи Nonlinear element in a circuit

метод 8.4

I = \alpha U^2, \qquad I = \frac{\mathcal{E} - U}{R}

I: ток через элемент
U: напряжение на нём
$\alpha$: коэффициент характеристики
R: последовательное сопротивление

Для элемента с известной вольт-амперной характеристикой закон Ома заменяют самой характеристикой $$I(U)$$ , а остальная цепь даёт вторую связь между теми же $$I$$ и $$U$$ , обычно линейную. Точка их пересечения, аналитически или на графике, и есть режим работы. Так считают лампу с характеристикой $I \propto U^2$ или диод в цепи с резистором.

Встречается в задачах (4) 8.1.13 8.4.8 8.4.20 8.4.21

Ток при движении заряда между обкладками Current from a charge moving between plates

закон 8.4

зарядназамкнутойобкладке$$I = \frac{qv}{d}, \qquad Q(d - x) + q'x = 0\ \text{(заряд на замкнутой обкладке)}$$

q: заряд, движущийся между обкладками
v: его скорость
d: расстояние между обкладками
x: расстояние заряда от одной из обкладок

Заряд между соединёнными обкладками наводит на них заряды, зависящие от его положения, обратно пропорционально расстояниям, так как обкладки при одном потенциале. При движении заряда наведённые заряды перетекают по проводу, и ток равен $$qv/d$$ всё время пролёта, а не только в момент удара. Это же даёт ток в цепи от пролёта электрона в вакуумной лампе.

Встречается в задачах (3) 6.4.13 8.2.24 8.4.18