Updated spacing between @ latex expressions

astrosander edited Oct 6, 2024, 12:48 AM

View solution History

revision #10603 parent #9324 GitHub c702ebe ← older newer →

ru/1.3.3.md +2 −2

			<html>
			<head>
			<title>Решебник Савченко</title>
			<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
			<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
			<meta http-equiv="content-language" content="ru">
			<meta charset="utf-8">
			<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
			<meta property="og:title" content="Решебник Савченко" />
			<meta property="og:image" content="img/logo.png">
			<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
			<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />

			<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css" />
			<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
			<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
			<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>

			<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
			extensions: ['tex2jax.js'],
			jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
			tex2jax: {
			inlineMath: [ ['$','$'], ['\$','\$'] ],
			processEscapes: true,
			processClass: 'tex2jax',
			ignoreClass: 'html'
			},
			showProcessingMessages: false,
			messageStyle: 'none'
			});
			</script>
			</head>
			<body style="">
			<header style="text-align:center;">
			<a href="../../" style="text-decoration: none;">
			<div id="logo">
			<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
			</div>
			</a>
			<p class="author">
			Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
			<i><b>knowledge must be free</b></i>
			</p>
			</header>

			<div class="container row">
			<div id="main" class="col col-lg-9">
			<div class="row">
			<div class="col caption">
			<h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
			</div>
			</div>

			<div id="1" class="row odd">
			<div class="col col-lg-12">
			<h3> Условие: </h3>
			<div class="task">
			<p>
			$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
			</p>

			<center>
			<figure>
			<img src="https://savchenkosolutions.com/en/1.3.3/statement.png"
			loading="lazy" width="200" />
			<figcaption>
			К задаче 1.3.3
			</figcaption>
			</figure>
			</center>

			</div>

			<h3> Решение: </h3>

			<p>
			Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
			</p>
			<p>
			Из геометрических соображений:
			</p>
			<p class="exp">
			$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;
			</p>
			<p class="exp">
			$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$
			</p>

			<p>
			Шарик будет скатываться с ускорением:
			</p>
			<p class="exp">
			$a = g \cdot \sin{\alpha}$.
			</p>

			<p>
			Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:
			</p>
			<p class="exp">
			$$l = \frac{a t^2}{2}$$
			</p>
			<p class="exp">
			$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$
			</p>

			<p>
			Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:
			</p>
			<p class="exp">
			$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$
		@@ -111,7 +111,7 @@
			</p>

			<p>
		−	Время будет минимальным, если $\xi=g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.
		+	Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.
			</p>
			<p class="exp">
			$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$
			</p>
			<p class="exp">
			$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$
			</p>

			<p>
			Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:
			</p>
			<p class="exp">
			$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$
			</p>

			<p>
		@@ -131,7 +131,7 @@
			Угол желоба к вертикали равен:
			</p>
			<p class="exp">
		−	$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$
		+	$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$
			</p>
			<p class="exp">
			$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$
			</p>


			<h4>
			Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
			</h4>
			<br>

			</div>

			</div>

			</div>
			</div>
			</div>
			</div>
			</div>
			<footer class="row container">
			<div class="col col-lg-3">
			<div class="footer-left">
			<p>
			<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>,     2023-2024 <br>
			</small>
			</p>
			</div>
			</div>
			<div class="col col-lg-6">
			<div class="footer-middle">
			<p>
			<small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br>
			</p>
			</div>
			</div>
			</footer>
			</body>
			</html>
		unchanged lines 36

	<html>		<html>
	<head>		<head>
	<title>Решебник Савченко</title>		<title>Решебник Савченко</title>
	<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">		<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
	<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">		<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
	<meta http-equiv="content-language" content="ru">		<meta http-equiv="content-language" content="ru">
	<meta charset="utf-8">		<meta charset="utf-8">
	<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">		<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
	<meta property="og:title" content="Решебник Савченко" />		<meta property="og:title" content="Решебник Савченко" />
	<meta property="og:image" content="img/logo.png">		<meta property="og:image" content="img/logo.png">
	<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">		<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
	<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />		<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />

	<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css" />		<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css" />
	<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />		<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
	<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>		<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
	<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>		<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>

	<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({		<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
	extensions: ['tex2jax.js'],		extensions: ['tex2jax.js'],
	jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],		jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
	tex2jax: {		tex2jax: {
	inlineMath: [ ['$','$'], ['\$','\$'] ],		inlineMath: [ ['$','$'], ['\$','\$'] ],
	processEscapes: true,		processEscapes: true,
	processClass: 'tex2jax',		processClass: 'tex2jax',
	ignoreClass: 'html'		ignoreClass: 'html'
	},		},
	showProcessingMessages: false,		showProcessingMessages: false,
	messageStyle: 'none'		messageStyle: 'none'
	});		});
	</script>		</script>
	</head>		</head>
	<body style="">		<body style="">
	<header style="text-align:center;">		<header style="text-align:center;">
	<a href="../../" style="text-decoration: none;">		<a href="../../" style="text-decoration: none;">
	<div id="logo">		<div id="logo">
	<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>		<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
	</div>		</div>
	</a>		</a>
	<p class="author">		<p class="author">
	Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>		Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
	<i><b>knowledge must be free</b></i>		<i><b>knowledge must be free</b></i>
	</p>		</p>
	</header>		</header>

	<div class="container row">		<div class="container row">
	<div id="main" class="col col-lg-9">		<div id="main" class="col col-lg-9">
	<div class="row">		<div class="row">
	<div class="col caption">		<div class="col caption">
	<h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>		<h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

	<div id="1" class="row odd">		<div id="1" class="row odd">
	<div class="col col-lg-12">		<div class="col col-lg-12">
	<h3> Условие: </h3>		<h3> Условие: </h3>
	<div class="task">		<div class="task">
	<p>		<p>
	$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?		$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
	</p>		</p>

	<center>		<center>
	<figure>		<figure>
	<img src="https://savchenkosolutions.com/en/1.3.3/statement.png"		<img src="https://savchenkosolutions.com/en/1.3.3/statement.png"
	loading="lazy" width="200" />		loading="lazy" width="200" />
	<figcaption>		<figcaption>
	К задаче 1.3.3		К задаче 1.3.3
	</figcaption>		</figcaption>
	</figure>		</figure>
	</center>		</center>

	</div>		</div>

	<h3> Решение: </h3>		<h3> Решение: </h3>

	<p>		<p>
	Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.		Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
	</p>		</p>
	<p>		<p>
	Из геометрических соображений:		Из геометрических соображений:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;		$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$;
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$		$$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	Шарик будет скатываться с ускорением:		Шарик будет скатываться с ускорением:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$a = g \cdot \sin{\alpha}$.		$a = g \cdot \sin{\alpha}$.
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:		Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$l = \frac{a t^2}{2}$$		$$l = \frac{a t^2}{2}$$
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$		$$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:		Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$		$$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$
	@@ -111,7 +111,7 @@
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	Время будет минимальным, если $\xi=g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.		Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$		$$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$		$$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:		Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$		$$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$
	</p>		</p>

	<p>		<p>
	@@ -131,7 +131,7 @@
	Угол желоба к вертикали равен:		Угол желоба к вертикали равен:
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$		$$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$
	</p>		</p>
	<p class="exp">		<p class="exp">
	$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$		$$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$
	</p>		</p>


	<h4>		<h4>
	Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.		Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
	</h4>		</h4>
	<br>		<br>

	</div>		</div>

	</div>		</div>

	</div>		</div>
	</div>		</div>
	</div>		</div>
	</div>		</div>
	</div>		</div>
	<footer class="row container">		<footer class="row container">
	<div class="col col-lg-3">		<div class="col col-lg-3">
	<div class="footer-left">		<div class="footer-left">
	<p>		<p>
	<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>,     2023-2024 <br>		<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>,     2023-2024 <br>
	</small>		</small>
	</p>		</p>
	</div>		</div>
	</div>		</div>
	<div class="col col-lg-6">		<div class="col col-lg-6">
	<div class="footer-middle">		<div class="footer-middle">
	<p>		<p>
	<small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br>		<small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br>
	</p>		</p>
	</div>		</div>
	</div>		</div>
	</footer>		</footer>
	</body>		</body>
	</html>		</html>
	unchanged lines 36