Edit to “Решение”

Anonymous edited Oct 2, 2025, 3:53 PM

View solution History

revision #15605 parent #13304 ← older newer →

ru/1.3.3.md +1 −1

			### Условие:

			$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

			![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)
		@@ -6,7 +6,7 @@Условие:

			### Решение:

		−	Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.
		+	Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.

			Из геометрических соображений:

			$$
			h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}
			$$

			$$
			l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\tag{1}
			$$

			Шарик будет скатываться с ускорением:

			$$
			a = g \cdot \sin{\alpha}
			$$

			Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

			$$
			l = \frac{a t^2}{2}
			$$

			$$
			\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}
			$$

			Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения:

			$$
			t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}
			$$

			Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

			$$
			\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)}
			$$

			$$
			\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})
			$$

			Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

			$$
			\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}
			$$

			Угол желоба к вертикали равен:

			$$
			\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha
			$$

			$$
			\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}
			$$

			#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
		unchanged lines 57

	### Условие:		### Условие:

	$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?		$1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

	![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)		![ К задаче 1.3.3 \|483x201, 34%](../../img/1.3.3/statement.png)
	@@ -6,7 +6,7 @@Условие:

	### Решение:		### Решение:

	Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.		Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.

	Из геометрических соображений:		Из геометрических соображений:

	$$		$$
	h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}		h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}
	$$		$$

	$$		$$
	l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\tag{1}		l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\tag{1}
	$$		$$

	Шарик будет скатываться с ускорением:		Шарик будет скатываться с ускорением:

	$$		$$
	a = g \cdot \sin{\alpha}		a = g \cdot \sin{\alpha}
	$$		$$

	Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:		Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$:

	$$		$$
	l = \frac{a t^2}{2}		l = \frac{a t^2}{2}
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}		\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}
	$$		$$

	Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения:		Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения:

	$$		$$
	t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}		t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}
	$$		$$

	Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.		Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным.

	$$		$$
	\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)}		\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)}
	$$		$$

	$$		$$
	\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})		\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})
	$$		$$

	Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:		Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда:

	$$		$$
	\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}		\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}
	$$		$$

	Угол желоба к вертикали равен:		Угол желоба к вертикали равен:

	$$		$$
	\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha		\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha
	$$		$$

	$$		$$
	\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}		\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}
	$$		$$

	#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.		#### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$.
	unchanged lines 57