Edit to “Решение”
ru/1.3.3.md
+1 −1
| ### Условие: | |||
| $1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
| Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. | |||
| Из геометрических соображений: | |||
| $$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$ | |||
| $$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$ | |||
| Шарик будет скатываться с ускорением: | |||
| $$a = g \cdot \sin{\alpha}$$ | |||
| Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: | |||
| $$l = \frac{a t^2}{2}$$ | |||
| @@ -24,7 +24,7 @@Решение: | |||
| $$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$ | |||
| − | Следовательно, выражая из $(1) | ||
| + | Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения: | ||
| $$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$ | |||
| Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. | |||
| $$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$ | |||
| $$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$ | |||
| Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: | |||
| $$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$ | |||
| Угол желоба к вертикали равен: | |||
| $$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$ | |||
| $$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$ | |||
| #### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$. | |||
| unchanged lines 20 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? | $1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. | Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. | ||
| Из геометрических соображений: | Из геометрических соображений: | ||
| $$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$ | $$h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$$ | ||
| $$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$ | $$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\quad (1)$$ | ||
| Шарик будет скатываться с ускорением: | Шарик будет скатываться с ускорением: | ||
| $$a = g \cdot \sin{\alpha}$$ | $$a = g \cdot \sin{\alpha}$$ | ||
| Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: | Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: | ||
| $$l = \frac{a t^2}{2}$$ | $$l = \frac{a t^2}{2}$$ | ||
| @@ -24,7 +24,7 @@Решение: | |||
| $$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$ | $$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$ | ||
| Следовательно, выражая из $(1) |
Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения: | ||
| $$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$ | $$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$ | ||
| Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. | Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. | ||
| $$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$ | $$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$ | ||
| $$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$ | $$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$ | ||
| Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: | Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: | ||
| $$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$ | $$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$ | ||
| Угол желоба к вертикали равен: | Угол желоба к вертикали равен: | ||
| $$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$ | $$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$ | ||
| $$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$ | $$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$ | ||
| #### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$. | #### Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$. | ||
| unchanged lines 20 | |||