| <html> | | <html> |
| <head> | | <head> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко" /> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко" /> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> |
| | | |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css" /> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css" /> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| | | |
| <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ | | <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | | inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <div class="container row"> | | <div class="container row"> |
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | | <div id="main" class="col col-lg-9"> |
| <div class="row"> | | <div class="row"> |
| <div class="col caption"> | | <div class="col caption"> |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div id="1" class="row odd"> | | <div id="1" class="row odd"> |
| <div class="col col-lg-12"> | | <div class="col col-lg-12"> |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| <div class="task"> | | <div class="task"> |
| <p> | | <p> |
| \(1.3.3^*.\) Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? | | \(1.3.3^*.\) Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? |
| </p> | | </p> |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. | | Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Из геометрических соображений: | | Из геометрических соображений: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$; | | $h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi}$; |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$ | | $$l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\; (1)$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Шарик будет скатываться с ускорением: | | Шарик будет скатываться с ускорением: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $a = g \cdot \sin{\alpha}$. | | $a = g \cdot \sin{\alpha}$. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: | | Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$l = \frac{a t^2}{2}$$ | | $$l = \frac{a t^2}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$ | | $$\frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения: | | Следовательно, выражая из $(1)$ $x$, получаем из последнего уравнения: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$ | | $$t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Время будет минимальным, если $\xi=g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. | | Время будет минимальным, если $\xi=g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$ | | $$\xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} $$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$ | | $$\xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)})$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: | | Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$ | | $$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Угол желоба к вертикали равен: | | Угол желоба к вертикали равен: |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$ | | $$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$ |
| </p> | | </p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$ | | $$\fbox{$\beta =\frac{\varphi}{2}$}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$. | | Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$. |
| </h4> | | </h4> |
| <br> | | <br> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <div class="col col-lg-3"> | | <div class="col col-lg-3"> |
| <div class="footer-left"> | | <div class="footer-left"> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br> | | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br> |
| </small> | | </small> |
| </p> | | </p> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| <div class="col col-lg-6"> | | <div class="col col-lg-6"> |
| <div class="footer-middle"> | | <div class="footer-middle"> |
| <p> | | <p> |
| <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br> | | <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br> |
| </p> | | </p> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| </html> | | </html> |
