| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? | | $1.3.3^*.$ Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. | | Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу. |
| | | |
| Из геометрических соображений: | | Из геометрических соображений: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi} | | h = x \cdot \tan{\alpha} + x \cdot \tan{\varphi} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\tag{1} | | l = \frac{x}{\cos{\alpha}}\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Шарик будет скатываться с ускорением: | | Шарик будет скатываться с ускорением: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a = g \cdot \sin{\alpha} | | a = g \cdot \sin{\alpha} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: | | Время находим из условия, что шарик прошёл путь $l$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| l = \frac{a t^2}{2} | | l = \frac{a t^2}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2} | | \frac{x}{\cos{\alpha}} = \frac{g \cdot \sin{\alpha} \cdot t^2}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения: | | Следовательно, выражая $x$ из $(1)$, получаем из последнего уравнения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})} | | t^2 = \frac{2h}{g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. | | Время будет минимальным, если $\xi =g \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} (\tan{\alpha} + \tan{\varphi})$ будет максимальным. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} | | \xi = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\varphi}} \sin{(\alpha + \varphi)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)}) | | \xi = \frac{1}{2 \cos{\varphi}} (\cos{\varphi} - \cos{(2\alpha + \varphi)}) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: | | Это выражение будет максимальным, когда $\cos{(2\alpha + \varphi)}$ будет минимальным, а значит равно $-1$. Тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2} | | \alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Угол желоба к вертикали равен: | | Угол желоба к вертикали равен: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha | | \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
