$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$.
### Решение
Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
$$
C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
$$
Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
@@ -70,6 +70,21 @@Решение
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
+
#### Приложение
+
+
Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.
Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд.
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$.
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$.
### Решение
### Решение
Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
$$
$$
C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
$$
$$
Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
@@ -70,6 +70,21 @@Решение
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
#### Приложение
Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.
Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд.
