Правка раздела «Альтернативное решение»

igor правка от 29 июн. 2026 г., 07:09

правка #19406 предыдущая #19402 ← раньше позже →

ru/6.4.8.md +1 −1

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

			![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

			Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

			Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

			- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

			- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

			Начнем с вычисления емкости $C_1$.

			Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

			$$
			dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
			$$

			Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

			$$
			dn=\frac{dr}{d+b}.
			$$

			Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

			$$
			x=\frac{r}{d}.
			$$

			После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

			$$
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
			$$

			(Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.)

			Таким образом, нужно найти интеграл

			$$
			\boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
			$$

			(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.)

			Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

			$$
			f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
			$$

			к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
			$$

			(На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.)

			Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

			$$
			\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3}
			$$

			Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
			$$

			и используем разложение $(3)$:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
			$$

			и далее

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
			$$

			Так как $x=1/u$, то

			$$
			f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
			$$

			Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:

			$$
			F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots
			$$

			По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$

			$$
			I=F(X)-F(1),
			$$

			где

			$$
			F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots
			$$

			и

			$$
			F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots
			$$

			Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:

			$$
			F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)
			$$

			и

			$$
			F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right)
			$$

			Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем

			$$
			I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}.
			$$

			Отсюда пока получаем

			$$
			C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
			$$

			Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

			$$
			C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
			$$

			Итак, емкость рулона

			$$
			C=C_1+C_2,
			$$

			значит:

			$$
			C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
			$$

			Из геометрии рулона

			$$
			b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
			$$

			и

			$$
			\pi R^2=l(d+b).
			$$

			Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$

			Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.


			Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора.

			Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

			У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.


			#### Приложение

			На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$

			![\|854x845, 50%](../../img/6.4.8/6.4.8a.png)

			не отличается от линейной $f(x)=x$.

			Так что значение интеграла $(2)$

			$$
			I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}.
			$$

			Дальнейшее совпадает с основным решением.


			#### Альтернативное решение

			Радиус $R$ рулона считаем внешним, рулон сплошной. Емкость рулона складывается из емкости $C_1$ цилиндрических конденсаторов толщины $d$ и емкости $C_2$ цилиндрических конденсаторов толщины $b$, где $b$ есть отступ между слоями толщиной $d$, так как пластины не должные соприкасаться (в эквивалентной схеме все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно [2])

			Начинаем с емкости $C_1$.

			Выберем произвольный $i$-ый по счету от оси цилиндрический конденсатор толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона и запишем для него (см. решение задачи 6.4.7):

			$$
			C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}
			$$

			или с учетом $r=i(d+b)$

			$$
			C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)}.
			$$

			Следовательно, сумма всех дает первую часть емкости рулона

			$$
			C_1=2\pi\varepsilon_0a\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)},
			$$
		@@ -234,7 +234,7 @@Альтернативное решение

			где $n=R/(d+b)$ есть количество цилиндрических конденсаторов толщины $d$ в рулоне.

		−	На большом диапазоне $i\gg 1$ значения элементов суммы лежит на функции $f(i)=\dfrac{d+b}{d}i$ (покажите самостоятельно через графики, посмотрите Приложение в основном решении).
		+	На большом диапазоне $i\gg 1$ значения элементов суммы лежит на линейной функции $f(i)=\dfrac{d+b}{d}i$ (покажите самостоятельно через графики, посмотрите Приложение в основном решении).

			Поэтому

			$$
			C_1\approx2\pi\varepsilon_0a\frac{d+b}{d}\sum\limits_{i=1}^n i\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}
			$$

			при $n\gg1$.

			Аналогично рассчитывается $C_2$ — суммарная емкость цилиндрических конденсаторов толщины $b$. Для нее получим

			$$
			C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{b}.
			$$

			Все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно, поэтому емкость рулона

			$$
			C=C_1+C_2,
			$$

			значит:

			$$
			C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).
			$$

			Из геометрии рулона

			$$
			b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
			$$

			и

			$$
			\pi R^2=l(d+b).
			$$

			Предыдыущие три формулы объединяем, упрощаем и получаем такой ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$


			#### Литература

			[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

			[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[3] Электрические конденсаторы. Ренне В.Т. 1969. C. 17.

			[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).


			#### Ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$
		ещё строк без изменений 59