Правка раздела «Решение»
ru/6.4.8.md
+9 −5
| ### Условие | |||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | |||
| @@ -5,19 +5,19 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разреж | ||
| + | Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | ||
|  | |||
| Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | |||
| Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | |||
| $$ | |||
| − | C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(\dfrac{ | ||
| + | C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}. | ||
| $$ | |||
| − | |||
| + | Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена | ||
| $$ | |||
| \ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}. | |||
| $$ | |||
| Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается: | |||
| $$ | |||
| @@ -29,7 +29,7 @@Решение | |||
| C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r. | |||
| $$ | |||
| − | Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего ( | ||
| + | Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$). | ||
| Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем | |||
| \begin{gather*} | |||
| C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\ | |||
| C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\ | |||
| C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right). | |||
| \end{gather*} | |||
| Соответственно, для $n$-го конденсатора: | |||
| $$ | |||
| C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right). | |||
| $$ | |||
| Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора | |||
| $$ | |||
| @@ -51,7 +51,7 @@Решение | |||
| C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right); | |||
| $$ | |||
| − | здесь использовали формулу суммы | ||
| + | здесь использовали формулу суммы геометрической прогрессии: | ||
| $$ | |||
| 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}. | |||
| $$ | |||
| Количество конденсаторов в рулоне примерно равно | |||
| $$ | |||
| n\approx\frac{l}{2\pi R}. | |||
| $$ | |||
| Подставим это в формулу для $C$ и упростим: | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | |||
| @@ -70,6 +70,10 @@Решение | |||
| $$ | |||
| Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6]. | |||
| + | |||
| + | У Савченко ответ немного другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | ||
| + | |||
| + | В этом решении считаем что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона | ||
| #### Литература | |||
| [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | |||
| [2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8. | |||
| [3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | |||
| [4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | |||
| [5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | |||
| 1998, №1. | |||
| [6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | |||
| $$ | |||
| ещё строк без изменений 20 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | ||
| @@ -5,19 +5,19 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разреж |
Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | ||
|  |  | ||
| Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | ||
| Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | ||
| $$ | $$ | ||
| C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(\dfrac{ |
C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена | |||
| $$ | $$ | ||
| \ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}. | \ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается: | Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -29,7 +29,7 @@Решение | |||
| C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r. | C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r. | ||
| $$ | $$ | ||
| Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего ( |
Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$). | ||
| Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем | Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем | ||
| \begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\ | C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\ | ||
| C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\ | C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\ | ||
| C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right). | C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right). | ||
| \end{gather*} | \end{gather*} | ||
| Соответственно, для $n$-го конденсатора: | Соответственно, для $n$-го конденсатора: | ||
| $$ | $$ | ||
| C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right). | C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора | Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -51,7 +51,7 @@Решение | |||
| C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right); | C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right); | ||
| $$ | $$ | ||
| здесь использовали формулу суммы |
здесь использовали формулу суммы геометрической прогрессии: | ||
| $$ | $$ | ||
| 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}. | 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Количество конденсаторов в рулоне примерно равно | Количество конденсаторов в рулоне примерно равно | ||
| $$ | $$ | ||
| n\approx\frac{l}{2\pi R}. | n\approx\frac{l}{2\pi R}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим это в формулу для $C$ и упростим: | Подставим это в формулу для $C$ и упростим: | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | ||
| @@ -70,6 +70,10 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6]. | Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6]. | ||
| У Савченко ответ немного другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | |||
| В этом решении считаем что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона | |||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | ||
| [2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8. | [2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8. | ||
| [3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | [3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | ||
| [4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | [4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | ||
| [5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | [5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | ||
| 1998, №1. | 1998, №1. | ||
| [6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | [6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| ещё строк без изменений 20 | |||