$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
### Решение
Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].
Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).
Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).
- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.
- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.
Начнем с вычисления емкости $C_1$.
Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость
Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:
+
Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:
$$
C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
$$
Заметим, что можно записать и короче
$$
C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
$$
где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.
Емкость рулона:
$$
C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
$$
откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует
$$
C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
$$
У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.
#### Комментарии к решению из [1]
Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.
Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле
$$
\Phi\approx\frac{l}{R},
$$
не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла
$$
r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
$$
Таким образом, есть два варианта
- не забывать про многовитковость;
- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).
И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как
$$
dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
$$
но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что
$$
dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
$$
а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.
#### Литература
[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.
[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).
#### Ответ
$$
C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
$$
ещё строк без изменений 111
### Условие
### Условие
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
### Решение
### Решение
Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].
Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].
Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).
Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).
Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).
Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).
- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.
- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.
- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.
- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.
Начнем с вычисления емкости $C_1$.
Начнем с вычисления емкости $C_1$.
Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость
Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость
Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:
Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:
Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:
$$
$$
C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
$$
$$
Заметим, что можно записать и короче
Заметим, что можно записать и короче
$$
$$
C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
$$
$$
где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.
где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.
Емкость рулона:
Емкость рулона:
$$
$$
C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
$$
$$
откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует
откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует
$$
$$
C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
$$
$$
У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.
В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.
#### Комментарии к решению из [1]
#### Комментарии к решению из [1]
Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.
Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.
