Правка разделов «Решение», «Литература»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #16164 предыдущая #16163 ← раньше позже →
ru/6.4.8.md +17 −53
@@ -5,101 +5,65 @@Условие
### Решение
−Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
+Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.
![|935x601, 50%](../../img/6.4.8/Без имени.png)
Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).
−Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
+Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): $C_1$, $C_2$, $\ldots$ , $C_n$.
−$$
−C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.
−$$
+Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
−Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена
−
$$
−\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
+C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
$$
−Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:
+Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена
$$
−C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
+\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
$$
−Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).
+Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:
−Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем
−
−\begin{gather*}
−C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
−C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
−C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
−\end{gather*}
−
−Соответственно, для $n$-го конденсатора:
−
$$
−C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
+C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
$$
−Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора
+Заметим, что можно записать и короче
$$
−C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
+C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
$$
−здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:
+где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.
−$$
−1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
−$$
+Емкость рулона:
−Количество конденсаторов $n$ в рулоне вычислим также по методу индукции
−
$$
−l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)
+C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
$$
−и компактно
+откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует
$$
−l=2\pi\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
+C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
$$
−здесь опять использовали формулу суммы арифметической прогрессии.
−Подскобочное выражение в предыдущей формуле равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановке эта самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора
+Примечание: альтернативное решение в аналогичной постановке опубликовано в [1].
−$$
−C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
−$$
−
−Примечание: решение задачи в несколько измененной формулировке предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].
−
У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.
В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона.
−Припоминается, что решение задачи о сплошном рулоне также давало приближение плоского конденсатора даже при интегрировании элементарных цилиндрических емкостей.
−
#### Литература
[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).
−[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.
−
−[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.
−
−[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
−
−[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
−1998, №1.
−
−[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.
+[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
#### Ответ
ещё строк без изменений 4