$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
### Решение
@@ -7,84 +7,71 @@Решение
#### [Корректное решение данной задачи приведено в "Принципы и практика решения задач по общей физике" ч.2 Электромагнетизм. А.Н. Паршаков (стр.104-107) изд. 2010 г. Его можно перенести сюда при возможности.]
−
Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
+
Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежим мысленно рулон вдоль радиуса.
−
Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).
−
Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
+
Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
−
Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
+
Аргумент логарифма можно представить как $1+\dfrac{d}{r}$ и, так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, использовать разложение логарифма в ряд до первого члена
−
Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
+
$$
+
\ln\left(r+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
+
$$
−
Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
+
Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:
Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
−
$$
−
C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
+
C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
$$
−
Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
+
Метод индукции. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).
−
Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
+
Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем
При$ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
−
−
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
−
−
−
#### Приложение
−
−
Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.
Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд. Для поднятия ряда из знаменателя используем геометрический ряд $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$
Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала).
#### Литература
[1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.
[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
[3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
1998, №1.
[4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.
### Решение
### Решение
@@ -7,84 +7,71 @@Решение
#### [Корректное решение данной задачи приведено в "Принципы и практика решения задач по общей физике" ч.2 Электромагнетизм. А.Н. Паршаков (стр.104-107) изд. 2010 г. Его можно перенести сюда при возможности.]
#### [Корректное решение данной задачи приведено в "Принципы и практика решения задач по общей физике" ч.2 Электромагнетизм. А.Н. Паршаков (стр.104-107) изд. 2010 г. Его можно перенести сюда при возможности.]
Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежим мысленно рулон вдоль радиуса.
Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).
Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
Аргумент логарифма можно представить как $1+\dfrac{d}{r}$ и, так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, использовать разложение логарифма в ряд до первого члена
Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
$$
\ln\left(r+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
$$
Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:
Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
$$
$$
C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
$$
$$
Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
Метод индукции. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).
Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем
При$ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала).
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
#### Приложение
Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.
Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд. Для поднятия ряда из знаменателя используем геометрический ряд $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$
