Задача 3.6.22 Решение | Деформации и напряжения. Скорость волн

Условие

3.6.22. а. Область продольной деформации $\varepsilon$ движется по стержню со скоростью $$c$$ вправо. Площадь сечения стержня $$S$$ , плотность материала $\rho$ . Какова скорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенного сечения?

б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотность потока импульса должна быть равна нормальному напряжению $\sigma$ в этом сечении? Выразив $\sigma$ через деформацию, определите отсюда $$c$$ через $$E$$ и $\rho$ .

Решение

Пункт а

Видим сжатие, значит, численно по соглашению $\varepsilon < 0$ .

Прирост импульса $$dp$$ справа за время $$dt$$ при перемещении возмущения вправо

$dp = Sc\,dt\rho v,$

где $$v$$ есть скорость частиц в возмущении.

Значит,

$\frac{dp}{dt} = Sc\rho v.\tag{1}$

В бегущей

$с$$\sigma = \rho сv,$$$

$\sigma = -E \varepsilon,$

где $$E$$ есть модуль Юнга.

Предыдущие две формулы в $$(1)$$

$\frac{dp}{dt} = -\rho c^2\varepsilon S.$

Пункт б

Нормальное напряжение меняет импульс единицы площади за малое время по второму закону Ньютона.

С учетом пункта а

$с$$с = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$$

Литература

[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.

[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

а.

$с$$\frac{dp}{dt} = \rho с v S = -\rho c^2\varepsilon S.$$$

б.

$с$$\sigma = -E\varepsilon,\quad с = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$$

Формулы в этом решении весь справочник

\vec p = m\vec v, \qquad \Delta\vec p = \vec F\,\Delta t

Импульс и импульс силы 2.2 · ещё в 34 задачах

\sigma = E\varepsilon, \qquad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L}, \qquad k = \frac{ES}{L}

Закон Гука для растяжения. Модуль Юнга 3.6 · ещё в 20 задачах

струнызвука$c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}, \qquad c_{\text{струны}} = \sqrt{\frac{F}{\rho_l}}, \qquad c_{\text{звука}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$

Скорость упругих волн 3.6 · ещё в 20 задачах

\Delta p = \rho c\, u, \qquad \varepsilon = -\frac{u}{c}

Давление и скорость частиц в волне 3.6 · ещё в 22 задачах