Формулы Савченко | Глава 3. Колебания и волны

3.1Малые отклонения от равновесия.

Малые колебания около равновесия Small oscillations about equilibrium

закон 3.1

U(x) \approx U_0 + \frac{\varkappa x^2}{2}, \qquad F = -\varkappa x, \qquad \omega = \sqrt{\frac{\varkappa}{m}}

\displaystyle \varkappa = U''(x_0)

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{U''(x_0)}}

x: отклонение от положения равновесия
$\varkappa$: эффективная жёсткость, вторая производная потенциальной энергии
m: масса

Вблизи минимума потенциальной энергии её можно заменить параболой, и любая система совершает гармонические колебания с частотой $\sqrt{\varkappa/m}$ . Возвращающую силу находят, разложив силу по малому отклонению и оставив линейный член, как $\sin\varphi \approx \varphi$ для маятника.

Встречается в задачах (11) 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.5 3.1.7 3.1.9 3.1.10 3.1.12

3.2Период и частота свободных колебаний

Период пружинного маятника Period of a mass on a spring

закон 3.2

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

статическоерастяжение$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}\ \text{(}\Delta l\text{ статическое растяжение)}$

двателанапружине$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}},\quad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\ \text{(два тела на пружине)}$

k: жёсткость пружины
m: масса груза
$\Delta l$: растяжение под весом груза

Уравнение $m\ddot x = -kx$ даёт гармонические колебания с частотой $\sqrt{k/m}$ , не зависящей от амплитуды. Сила тяжести лишь сдвигает положение равновесия. Для двух тел на одной пружине массу заменяет приведённая масса.

Период математического маятника Period of a simple pendulum

закон 3.2

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

нанаклоннойплоскости$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g\cos\alpha}}\ \text{(на наклонной плоскости)}$

шариквсферическойчашетеловтуннелесквозьЗемлю$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}\ \text{(шарик в сферической чаше, тело в туннеле сквозь Землю)}$

l: длина нити
g: ускорение свободного падения или его действующая составляющая

При малых углах $\sin\varphi \approx \varphi$ и возвращающая сила равна $mg\,x/l$ , откуда $\omega^2 = g/l$ . Период не зависит ни от массы, ни от амплитуды. Шарик, катящийся без вращения в чаше радиуса $$R$$ , и тело в туннеле сквозь однородную Землю колеблются с $\omega = \sqrt{g/R}$ .

Встречается в задачах (16) 3.1.6 3.2.5 3.2.7 3.2.9 3.2.12 3.2.13 3.2.15 3.2.24

Частота из энергии Frequency from the energy

метод 3.2

E = \frac{\beta\dot x^2}{2} + \frac{\alpha x^2}{2} \ \Rightarrow\ \omega = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}

$\alpha$: коэффициент при квадрате координаты в потенциальной энергии
$\beta$: коэффициент при квадрате скорости в кинетической энергии

Записав полную энергию системы через одну координату и её скорость и оставив квадратичные члены, получают частоту как корень из отношения коэффициентов, не выписывая сил. Это удобно для систем с блоками, жидкостью в трубке, стержнями и пружинами вместе.

Встречается в задачах (8) 3.2.20 3.2.22 3.2.23 3.2.28 3.2.33 3.2.34 3.2.36 3.4.17

Маятник в ускоренной системе. Эффективное g Pendulum in an accelerating frame and effective g

метод 3.2

\vec g^* = \vec g - \vec a, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g^*}}

горизонтальноеускорение$\displaystyle g^* = \sqrt{g^2 + a^2}\ \text{(горизонтальное ускорение)}$

гладкаянаклоннаяплоскость$\displaystyle g^* = g\cos\alpha\ \text{(гладкая наклонная плоскость)}$

$\vec a$: ускорение системы отсчёта
$$g^*$$: модуль эффективного ускорения свободного падения

В ускоренной системе отсчёта к силе тяжести добавляется сила инерции $-m\vec a$ , и маятник качается около нового равновесия с периодом $2\pi\sqrt{l/g^*}$ . В свободно падающем лифте $$g^* = 0$$ и колебаний нет. То же $$g^*$$ определяет период на другой высоте или планете.

Встречается в задачах (7) 3.2.6 3.2.7 3.2.9 3.2.15 3.2.16 4.1.22 7.1.20

Физический маятник Physical pendulum

закон 3.2

T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mga}}

стерженьзаконец$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}}\ \text{(стержень за конец)}$

кольцонагвозде$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}\ \text{(кольцо на гвозде)}$

I: момент инерции относительно оси подвеса
a: расстояние от оси до центра масс
m: масса

Тело, качающееся вокруг оси, подчиняется уравнению $I\ddot\varphi = -mga\sin\varphi$ , при малых углах гармоническому. Приведённая длина $$I/ma$$ есть длина математического маятника с тем же периодом. Момент инерции берут по теореме Штейнера.

Встречается в задачах (7) 2.2.23 3.2.19 3.2.21 3.2.24 3.2.28 3.2.30 3.3.26

Колебания жидкости и плавающего тела Oscillations of a liquid column and a floating body

закон 3.2

T = 2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho g S}}

столбжидкостидлинывтрубке$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2g}{l}}\ \text{(столб жидкости длины }l\text{ в U-трубке)}$

H: глубина погружения плавающего тела или половина длины столба
S: площадь сечения
$\rho$: плотность жидкости

Смещение плавающего тела на $$x$$ меняет силу Архимеда на $\rho g S x$ , это возвращающая сила с жёсткостью $\rho g S$ , а масса тела равна $\rho S H$ , откуда $\omega^2 = g/H$ . У столба жидкости в трубке разность уровней $$2x$$ даёт силу $2\rho g S x$ на всю массу столба.

Встречается в задачах (4) 3.2.33 3.2.34 3.2.35 3.2.37

Колебания двух тел на пружине Two bodies on a spring

закон 3.2

\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

m₁, m₂: массы тел
$\mu$: приведённая масса
k: жёсткость пружины

В системе центра масс два тела движутся навстречу друг другу, и их относительное движение описывается уравнением одного тела с приведённой массой. Центр масс при этом движется равномерно. Так же считают частоту колебаний двухатомной молекулы.

Встречается в задачах (4) 3.2.25 3.2.26 3.4.16 7.4.14

3.3Гармоническое движение

Гармонические колебания Harmonic motion

закон 3.3

x = A\cos(\omega t + \varphi_0), \qquad v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad a = -\omega^2 x

\displaystyle v_{\max} = A\omega,\quad a_{\max} = A\omega^2

изположенияравновесия$\displaystyle x = A\sin\omega t\ \text{(из положения равновесия)}$

A: амплитуда
$\omega$: циклическая частота, $2\pi/T$
$\varphi_0$: начальная фаза

Координата меняется по синусу или косинусу, скорость опережает её по фазе на четверть периода, ускорение противоположно координате. Начальную фазу и амплитуду находят из положения и скорости в начальный момент. Проекция равномерного движения по окружности на диаметр есть гармоническое колебание.

Уравнение гармонических колебаний The harmonic oscillator equation

закон 3.3

\ddot x + \omega^2 x = 0

\displaystyle m\ddot x = -kx

\displaystyle \ddot\varphi + \frac{g}{l}\varphi = 0

x: отклонение от равновесия
$\omega$: циклическая частота

Всякое уравнение вида $\ddot x = -\omega^2 x$ имеет решение $A\cos(\omega t + \varphi_0)$ , поэтому, приведя второй закон Ньютона к этому виду, частоту читают как корень из коэффициента при $$x$$ . Постоянная сила справа лишь сдвигает положение равновесия и частоту не меняет.

Время по фазе. Составные периоды Time from the phase and composite periods

метод 3.3

t = \frac{\Delta\varphi}{\omega}, \qquad T = T_1 + T_2

\displaystyle \sin\omega t = \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ t = \frac{T}{12}

маятниксгвоздём$\displaystyle T = \pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} + \pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}\ \text{(маятник с гвоздём)}$

$\Delta\varphi$: изменение фазы между двумя положениями
T₁, T₂: периоды движения на двух участках

Время между двумя положениями находят через фазу, а не через путь, так как скорость не постоянна. От равновесия до половины амплитуды проходит $$T/12$$ , до амплитуды $$T/4$$ . Когда маятник на половине пути меняет длину или жёсткость, период складывается из половин периодов двух движений.

Встречается в задачах (14) 2.6.48 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.11 3.3.12

Энергия гармонических колебаний Energy of harmonic motion

закон 3.3

E = \frac{kA^2}{2} = \frac{m\omega^2 A^2}{2}

\displaystyle E_k = \frac{m\omega^2}{2}(A^2 - x^2),\quad E_p = \frac{kx^2}{2}

\displaystyle \langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle = \frac{E}{2}

A: амплитуда
k: жёсткость или эффективная жёсткость $m\omega^2$

Полная энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды и переходит из кинетической в потенциальную дважды за период. В среднем за период они равны. Амплитуду по заданным координате и скорости находят из сохранения энергии.

Встречается в задачах (9) 3.3.4 3.4.12 3.4.13 3.5.3 3.5.8 3.5.14 3.5.17 3.5.21

Колебания с начальной скоростью и постоянной силой Oscillation with an initial velocity and a constant force

закон 3.3

x = x_0\cos\omega t + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega t, \qquad x = \frac{F}{k}(1 - \cos\omega t)

силаприложенавнезапно$\displaystyle x_{\max} = \frac{2F}{k}\ \text{(сила приложена внезапно)}$

\displaystyle A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}

x₀, v₀: координата и скорость в начальный момент
F: постоянная сила, приложенная к покоящемуся грузу
k: жёсткость

Общее решение уравнения осциллятора есть сумма косинуса и синуса с коэффициентами из начальных условий. Внезапно приложенная постоянная сила сдвигает равновесие на $$F/k$$ , и тело колеблется около него с амплитудой $$F/k$$ , доходя до $$2F/k$$ , вдвое дальше статического растяжения.

Встречается в задачах (9) 2.3.41 2.3.42 2.3.47 2.4.21 3.3.18 3.3.19 3.3.22 3.3.23

Колебания при сухом трении Oscillations with dry friction

закон 3.3

заполпериода$$\Delta A = \frac{2\mu mg}{k}\ \text{за полпериода}$$

досканадвухвращающихсяваликах$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2\mu g}{l}}\ \text{(доска на двух вращающихся валиках)}$

$\mu$: коэффициент трения
k: жёсткость
$\Delta A$: убыль амплитуды за каждые полпериода

Сухое трение есть постоянная сила, меняющая знак с направлением скорости, поэтому каждые полпериода тело колеблется гармонически около сдвинутого на $\mu mg/k$ равновесия, а амплитуда убывает по арифметической прогрессии на $2\mu mg/k$ . Движение останавливается, когда амплитуда становится меньше $\mu mg/k$ .

Встречается в задачах (5) 3.2.14 3.3.14 3.3.26 3.3.27 3.3.35

Отрыв от колеблющейся опоры Losing contact with an oscillating support

закон 3.3

A\omega^2 = g

A: амплитуда колебаний опоры
$\omega$: её частота

Тело на платформе давит на неё с силой $$m(g - a)$$ , где $$a$$ ускорение платформы вверх. Оно отрывается, когда ускорение платформы вниз достигает $$g$$ , то есть при $A\omega^2 \ge g$ , в точке, где $\omega^2 y = g$ . Дальше тело летит свободно, пока не догонит платформу.

Встречается в задачах (4) 2.3.30 3.3.30 3.3.31 3.3.33

3.4Наложение колебаний

Сложение колебаний одной частоты Adding oscillations of one frequency

закон 3.4

A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}

принципсуперпозиции$\displaystyle x = x_1 + x_2\ \text{(принцип суперпозиции)}$

равныеамплитуды$\displaystyle A = 2A_1\cos\frac{\Delta\varphi}{2}\ \text{(равные амплитуды)}$

A₁, A₂: амплитуды складываемых колебаний
$\varphi_2 - \varphi_1$: разность фаз

Два колебания одной частоты вдоль одной прямой складываются в колебание той же частоты, амплитуду дают правило сложения векторов, повёрнутых на разность фаз. В фазе амплитуды складываются, в противофазе вычитаются. Волны и импульсы складываются так же, точка за точкой.

Встречается в задачах (11) 1.2.3 3.4.3 3.4.12 3.4.13 3.4.15 3.4.19 3.8.3 3.8.4

Биения Beats

закон 3.4

бб$$\omega_{\text{б}} = |\omega_1 - \omega_2|, \qquad T_{\text{б}} = \frac{2\pi}{|\omega_1 - \omega_2|}$$

\displaystyle x = 2A\cos\frac{(\omega_1 - \omega_2)t}{2}\cos\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}

б$\displaystyle \nu_{\text{б}} = |\nu_1 - \nu_2|$

$\omega_1, \omega_2$: близкие частоты складываемых колебаний
$б$T_{\text{б}}$$: период биений, время между двумя максимумами амплитуды

Сумма двух близких частот есть колебание на средней частоте с медленно меняющейся амплитудой, которая обращается в нуль, когда колебания расходятся по фазе на $\pi$ . Число биений в секунду равно разности частот. У раскачиваемого без затухания осциллятора вблизи резонанса амплитуда тоже биётся.

Встречается в задачах (10) 3.2.27 3.4.12 3.4.13 3.4.14 3.4.19 3.5.7 3.5.32 3.5.33

Сложение перпендикулярных колебаний Perpendicular oscillations

закон 3.4

x = A\cos\omega t, \quad y = B\cos(\omega t + \varphi) \ \Rightarrow\ \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB}\cos\varphi = \sin^2\varphi

эллипс$\displaystyle \varphi = \frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1\ \text{(эллипс)}$

замкнутаяфигураЛиссажу$\displaystyle \frac{\nu_x}{\nu_y} = \frac{p}{q}\ \text{(замкнутая фигура Лиссажу)}$

A, B: амплитуды по осям
$\varphi$: разность фаз
p, q: числа касаний фигуры со сторонами прямоугольника

Точка, колеблющаяся по двум перпендикулярным осям с одной частотой, движется по эллипсу, при разности фаз $$0$$ или $\pi$ по отрезку прямой, при $\pi/2$ и равных амплитудах по окружности. При кратных частотах получаются фигуры Лиссажу, отношение частот равно отношению чисел касаний с горизонтальной и вертикальной сторонами.

Встречается в задачах (9) 3.4.3 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 3.4.9 3.4.10 3.4.11

Нормальные колебания связанных маятников Normal modes of coupled pendulums

метод 3.4

\omega_1 = \omega_0, \qquad \omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + \frac{2k}{m}}

\displaystyle x_1 = B\cos(\omega_1 t + \varphi) + A\cos\omega_2 t,\quad x_2 = B\cos(\omega_1 t + \varphi) - A\cos\omega_2 t

$\omega_0$: частота каждого маятника без связи
k: жёсткость связывающей пружины
$\omega_1, \omega_2$: частоты синфазного и противофазного колебаний

У двух одинаковых связанных маятников есть два движения с одной частотой, синфазное, где пружина не работает, и противофазное, где она растянута вдвое. Любое движение есть их сумма с коэффициентами из начальных условий, и энергия перекачивается от маятника к маятнику с частотой биений $\omega_2 - \omega_1$ .

Встречается в задачах (8) 3.2.10 3.2.32 3.4.15 3.4.16 3.4.17 3.4.18 3.5.27 7.1.25

3.5Вынужденные и затухающие колебания

Вынужденные колебания. Резонанс Forced oscillations and resonance

закон 3.5

A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}

рез$\displaystyle A_{\text{рез}} = \frac{F_0}{2m\gamma\omega_0} = Q\frac{F_0}{k}$

\displaystyle \omega \ll \omega_0:\ x \approx \frac{F}{k},\qquad \omega \gg \omega_0:\ x \approx -\frac{F}{m\omega^2}

F₀: амплитуда вынуждающей силы
$\omega$: её частота
$\omega_0$: собственная частота
$\gamma$: коэффициент затухания
$\varphi$: отставание смещения от силы по фазе

Установившиеся колебания идут на частоте силы, их амплитуда наибольшая вблизи собственной частоты и при слабом затухании превосходит статическое смещение $$F_0/k$$ в $$Q$$ раз. При медленной силе тело следует за ней, при быстрой отстаёт на $\pi$ и почти не движется. Без затухания на резонансе амплитуда растёт линейно со временем.

Встречается в задачах (19) 3.2.18 3.4.14 3.4.18 3.5.24 3.5.26 3.5.27 3.5.28 3.5.30

Затухающие колебания Damped oscillations

закон 3.5

x = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega t + \varphi), \qquad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}, \qquad \gamma = \frac{b}{2m}

запериод$\displaystyle Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = 2\pi\frac{E}{\Delta E_{\text{за период}}}$

\displaystyle \frac{A(t)}{A(t + T)} = e^{\gamma T}

$\gamma$: коэффициент затухания, $$b/2m$$ для силы $$-bv$$
$\omega_0$: собственная частота без трения
Q: добротность

Вязкое трение, пропорциональное скорости, заставляет амплитуду убывать по экспоненте, а частоту слегка уменьшает. Отношение амплитуд через период постоянно. Добротность показывает, сколько периодов, делённых на $2\pi$ , живёт колебание, и равна отношению запасённой энергии к потере за радиан.

Встречается в задачах (15) 3.5.1 3.5.9 3.5.10 3.5.12 3.5.14 3.5.15 3.5.16 3.5.17

Раскачка толчками Driving by kicks

метод 3.5

\Delta v = \frac{p_0}{m}, \qquad p_n = m v_0 + n p_0

p₀: импульс одного толчка
m: масса
$\omega$: собственная частота

Короткий толчок меняет скорость на $$p_0/m$$ , не сдвигая тело. Толчки в такт колебаниям складывают импульсы и раскачивают, толчки в противофазе гасят. Установившаяся амплитуда при трении получается из равенства энергии толчка потерям за период.

Встречается в задачах (3) 3.5.1 3.5.3 3.5.22

3.6Деформации и напряжения. Скорость волн

Давление и скорость частиц в волне Pressure and particle velocity in a wave

закон 3.6

\Delta p = \rho c\, u, \qquad \varepsilon = -\frac{u}{c}

\displaystyle \Delta p_{\max} = \rho c\,\omega A

силанаторецстержня$\displaystyle F = \rho c S u\ \text{(сила на торец стержня)}$

$\Delta p$: избыточное давление или напряжение в волне
u: скорость частиц среды, не волны
$\rho c$: волновое сопротивление среды

За время $$dt$$ волна вовлекает в движение слой толщиной $c\,dt$ массой $\rho c S\,dt$ и сообщает ему скорость $$u$$ , откуда сила $\rho c S u$ и давление $\rho c u$ . Деформация в волне равна $$u/c$$ . Произведение $\rho c$ определяет, как волна отражается от границы двух сред.

Закон Гука для растяжения. Модуль Юнга Hooke's law for a rod and Young's modulus

закон 3.6

\sigma = E\varepsilon, \qquad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L}, \qquad k = \frac{ES}{L}

\displaystyle \Delta L = \frac{FL}{ES}

термзажатыйстерженьпринагреве$\displaystyle \sigma_{\text{терм}} = E\alpha\Delta T\ \text{(зажатый стержень при нагреве)}$

$\sigma$: напряжение, сила на единицу сечения
$\varepsilon$: относительное удлинение
E: модуль Юнга
S, L: сечение и длина стержня

Напряжение пропорционально относительной деформации, коэффициент есть модуль Юнга, свойство материала, а не образца. Стержень ведёт себя как пружина жёсткости $$ES/L$$ . Под собственным весом или при ускорении напряжение меняется вдоль длины, и удлинение считают интегралом по элементам.

Скорость упругих волн Speed of elastic waves

закон 3.6

струнызвука$$c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}, \qquad c_{\text{струны}} = \sqrt{\frac{F}{\rho_l}}, \qquad c_{\text{звука}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$$

звуквгазе$\displaystyle c = \sqrt{\frac{\gamma RT}{\mu}}\ \text{(звук в газе)}$

волнынамелкойводе$\displaystyle c = \sqrt{gh}\ \text{(волны на мелкой воде)}$

E: модуль Юнга
$\rho$: плотность среды
F: натяжение струны
$\rho_l$: масса единицы длины струны
$\gamma$: показатель адиабаты газа

Скорость волны есть корень из отношения упругости среды к её инертности, плотности. В стержне это $E/\rho$ , в струне натяжение на погонную массу, в газе адиабатическая упругость $\gamma p$ на плотность, что даёт $\sqrt{\gamma RT/\mu}$ . Скорость не зависит от частоты и амплитуды.

Коэффициент Пуассона Poisson's ratio

определение 3.6

\nu = -\frac{\varepsilon_{\perp}}{\varepsilon_{\parallel}}

$\varepsilon_{\parallel}$: относительное удлинение вдоль силы
$\varepsilon_{\perp}$: относительное сжатие поперёк

Растягиваемый стержень сужается, отношение поперечной деформации к продольной есть коэффициент Пуассона, у металлов около $$0{,}3$$ , у резины $$0{,}5$$ , когда объём не меняется. Всестороннее сжатие связано с ним через $\kappa = 3(1 - 2\nu)/E$ .

Встречается в задачах (6) 3.6.12 3.6.13 3.6.14 3.6.15 3.7.6 14.5.24

Плотность энергии упругой деформации Elastic energy density

закон 3.6

w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma^2}{2E} = \frac{\sigma\varepsilon}{2}

кинпотвбегущейволнеравны$\displaystyle w_{\text{кин}} = \frac{\rho u^2}{2},\quad w_{\text{пот}} = \frac{E\varepsilon^2}{2}\ \text{(в бегущей волне равны)}$

w: энергия единицы объёма
$\sigma, \varepsilon$: напряжение и деформация
u: скорость частиц среды

Как энергия пружины равна $$kx^2/2$$ , энергия единицы объёма растянутого тела равна $E\varepsilon^2/2$ . В бегущей упругой волне плотность кинетической энергии равна плотности потенциальной в каждой точке.

Встречается в задачах (5) 3.6.10 3.6.11 3.6.21 3.8.2 3.9.26

3.7Распространение волн

Бегущая волна. Длина волны Travelling wave and wavelength

закон 3.7

\xi = A\cos(\omega t - kx), \qquad \lambda = cT = \frac{c}{\nu}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}

\displaystyle \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}

любойпрофильбежитбезизменения$\displaystyle \xi = f(x - ct)\ \text{(любой профиль бежит без изменения)}$

$\lambda$: длина волны, расстояние между соседними гребнями
k: волновое число
c: скорость волны
$\nu, T$: частота и период колебаний в каждой точке

Любая функция от $$x - ct$$ есть волна, бегущая вправо со скоростью $$c$$ без искажения. За период волна проходит длину волны, и частота, длина волны и скорость связаны как $c = \lambda\nu$ . Точка на расстоянии $$x$$ колеблется с запаздыванием $$x/c$$ .

Преломление волн. Принцип Гюйгенса. Конус Маха Refraction of waves, Huygens' principle, Mach cone

закон 3.7

Маха$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{c_1}{c_2}, \qquad \sin\alpha_{\text{Маха}} = \frac{c}{v}$$

средасменяющейсяскоростью$\displaystyle \frac{c(y)}{\sin\theta(y)} = \text{const}\ \text{(среда с меняющейся скоростью)}$

крполноеотражение$\displaystyle \sin\theta_{\text{кр}} = \frac{c_1}{c_2}\ \text{(полное отражение)}$

$\theta_1, \theta_2$: углы между лучом и нормалью к границе
c₁, c₂: скорости волны в двух средах
v: скорость источника, быстрее волны

Фронт волны за время $\Delta t$ смещается на $c_1\Delta t$ в одной среде и на $c_2\Delta t$ в другой, и из построения Гюйгенса следует закон преломления. В среде с плавно меняющейся скоростью величина $c/\sin\theta$ сохраняется вдоль луча. Источник, движущийся быстрее волны, создаёт конус с углом $\sin\alpha = c/v$ .

Встречается в задачах (8) 3.7.13 3.7.14 3.7.16 3.7.17 3.7.18 3.7.19 3.7.20 12.2.3

Импульс и энергия волнового импульса Momentum and energy of a wave pulse

закон 3.7

p = \rho c\, u S\tau = F\tau, \qquad W = \rho c S u^2 \tau

$\tau$: длительность импульса
u: скорость частиц в импульсе
F: сила на торце, создавшая импульс

Импульс длительности $\tau$ занимает участок длины $c\tau$ массой $\rho S c\tau$ , движущийся со скоростью частиц $$u$$ , и несёт импульс $F\tau$ , равный импульсу создавшей его силы. Энергия импульса делится поровну между кинетической и упругой.

Встречается в задачах (4) 3.7.1 3.7.2 3.7.6 3.7.7

Эффект Доплера Doppler effect

закон 3.7

прист$$\nu = \nu_0\,\frac{c \pm v_{\text{пр}}}{c \mp v_{\text{ист}}}$$

источникприближается$\displaystyle \nu = \nu_0\frac{c}{c - v}\ \text{(источник приближается)}$

приёмникприближается$\displaystyle \nu = \nu_0\left(1 + \frac{v}{c}\right)\ \text{(приёмник приближается)}$

$\nu_0$: частота источника
c: скорость волны в среде
$истпр$v_{\text{ист}}, v_{\text{пр}}$$: скорости источника и приёмника относительно среды

Движущийся источник сжимает длину волны впереди себя до $(c - v)/\nu_0$ , движущийся приёмник встречает гребни чаще. Знаки берут так, чтобы при сближении частота росла. Отражение от движущегося предмета даёт сдвиг дважды.

Встречается в задачах (3) 1.1.8 3.7.21 12.1.29

3.8Наложение и отражение волн

Стоячие волны. Резонансные длины Standing waves and resonant lengths

закон 3.8

или$$\xi = 2A\sin kx\cos\omega t, \qquad l = n\frac{\lambda}{2}\ \text{или}\ (2n+1)\frac{\lambda}{4}$$

струнатрубасдвумяоткрытымиконцами$\displaystyle \nu_n = \frac{nc}{2l}\ \text{(струна, труба с двумя открытыми концами)}$

трубазакрытаясодногоконца$\displaystyle \nu_n = \frac{(2n+1)c}{4l}\ \text{(труба, закрытая с одного конца)}$

A: амплитуда каждой из встречных волн
l: длина струны или трубы
n: номер гармоники

Падающая и отражённая волны складываются в стоячую, где каждая точка колеблется с постоянной амплитудой, узлы и пучности не движутся, соседние узлы отстоят на полволны. Закреплённый конец струны и закрытый конец трубы дают узел, открытый конец пучность, и на длине укладывается целое число полуволн или нечётное число четвертей.

Встречается в задачах (18) 3.8.4 3.8.6 3.9.2 3.9.3 3.9.8 3.9.9 3.9.10 3.9.11

Отражение и прохождение волны на границе Reflection and transmission at a boundary

закон 3.8

отрпр$$\frac{u_{\text{отр}}}{u_0} = \frac{\rho_1 c_1 - \rho_2 c_2}{\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2}, \qquad \frac{u_{\text{пр}}}{u_0} = \frac{2\rho_1 c_1}{\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2}$$

доляпрошедшейэнергии$\displaystyle D = \frac{4\rho_1 c_1\rho_2 c_2}{(\rho_1 c_1 + \rho_2 c_2)^2}\ \text{(доля прошедшей энергии)}$

$отрпр$u_0, u_{\text{отр}}, u_{\text{пр}}$$: скорости частиц в падающей, отражённой и прошедшей волнах
$\rho_1 c_1, \rho_2 c_2$: волновые сопротивления сред

На границе непрерывны скорость частиц и давление, откуда доли отражённой и прошедшей волн через волновые сопротивления. От более жёсткой среды волна отражается с обращением знака смещения, от более мягкой без него, при равных $\rho c$ отражения нет. Частота при переходе сохраняется, длина волны меняется вместе со скоростью.

Встречается в задачах (7) 3.8.12 3.8.13 3.8.14 3.8.16 3.8.20 3.9.25 10.1.5

3.9Звук. Акустические резонаторы

Интенсивность волны Wave intensity

закон 3.9

I = \frac{1}{2}\rho c\,\omega^2 A^2, \qquad I = \frac{P}{4\pi r^2}

\displaystyle I = \frac{\Delta p_{\max}^2}{2\rho c}

плотностьэнергии$\displaystyle w = \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\ \text{(плотность энергии)}$

I: интенсивность, энергия через единицу площади в единицу времени
A: амплитуда смещения частиц
P: мощность источника
r: расстояние от точечного источника

Плотность энергии волны равна $\rho\omega^2A^2/2$ , и за секунду через единицу площади проходит объём $$c$$ , откуда интенсивность. Точечный источник рассылает мощность по сфере, и интенсивность падает как $$1/r^2$$ , а амплитуда как $$1/r$$ . Через амплитуду давления интенсивность равна $\Delta p_{\max}^2/2\rho c$ .

Встречается в задачах (11) 3.7.2 3.8.7 3.8.14 3.9.4 3.9.5 3.9.7 3.9.25 8.1.13

3. Колебания и волныФормулы Савченко, глава 3 из 14, 34 формулы

3.1Малые отклонения от равновесия.

Малые колебания около равновесия Small oscillations about equilibrium

3.2Период и частота свободных колебаний

Период пружинного маятника Period of a mass on a spring

Период математического маятника Period of a simple pendulum

Частота из энергии Frequency from the energy

Маятник в ускоренной системе. Эффективное g Pendulum in an accelerating frame and effective g

Физический маятник Physical pendulum

Колебания жидкости и плавающего тела Oscillations of a liquid column and a floating body

Колебания двух тел на пружине Two bodies on a spring

3.3Гармоническое движение

Гармонические колебания Harmonic motion

Уравнение гармонических колебаний The harmonic oscillator equation

Время по фазе. Составные периоды Time from the phase and composite periods

Энергия гармонических колебаний Energy of harmonic motion

Колебания с начальной скоростью и постоянной силой Oscillation with an initial velocity and a constant force

Колебания при сухом трении Oscillations with dry friction

Отрыв от колеблющейся опоры Losing contact with an oscillating support

3.4Наложение колебаний

Сложение колебаний одной частоты Adding oscillations of one frequency

Биения Beats

Сложение перпендикулярных колебаний Perpendicular oscillations

Нормальные колебания связанных маятников Normal modes of coupled pendulums

3.5Вынужденные и затухающие колебания

Вынужденные колебания. Резонанс Forced oscillations and resonance

Затухающие колебания Damped oscillations

Раскачка толчками Driving by kicks

3.6Деформации и напряжения. Скорость волн

Давление и скорость частиц в волне Pressure and particle velocity in a wave

Закон Гука для растяжения. Модуль Юнга Hooke's law for a rod and Young's modulus

Скорость упругих волн Speed of elastic waves

Коэффициент Пуассона Poisson's ratio

Плотность энергии упругой деформации Elastic energy density

3.7Распространение волн

Бегущая волна. Длина волны Travelling wave and wavelength

Преломление волн. Принцип Гюйгенса. Конус Маха Refraction of waves, Huygens' principle, Mach cone

Импульс и энергия волнового импульса Momentum and energy of a wave pulse

Эффект Доплера Doppler effect

3.8Наложение и отражение волн

Стоячие волны. Резонансные длины Standing waves and resonant lengths

Отражение и прохождение волны на границе Reflection and transmission at a boundary

3.9Звук. Акустические резонаторы

Интенсивность волны Wave intensity