Edit to “[Корректное решение данной задачи привед”

igor edited
View solution History
revision #16144 parent #16116 ← older newer →
ru/6.4.8.md +33 −46
@@ -7,84 +7,71 @@Решение
#### [Корректное решение данной задачи приведено в "Принципы и практика решения задач по общей физике" ч.2 Электромагнетизм. А.Н. Паршаков (стр.104-107) изд. 2010 г. Его можно перенести сюда при возможности.]
−Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)).
+Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежим мысленно рулон вдоль радиуса.
−Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.
+![К задаче $6.4.8$|935x601, 50%](../../img/6.4.8/Без имени.png)
−![|1147x770, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-19 120156.png)
+Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).
−Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).
+Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
−Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.
+$$
+C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(\dfrac{r+d}{r}\right)}.
+$$
−Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].
+Аргумент логарифма можно представить как $1+\dfrac{d}{r}$ и, так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, использовать разложение логарифма в ряд до первого члена
−Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.
+$$
+\ln\left(r+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
+$$
−Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.
+Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:
−![|442x658, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-19 122130.png)
−
−Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения.
−
−![|892x419, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-19 123359.png)
−
−Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона
−
$$
−C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.
+C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
$$
−Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.
+Метод индукции. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).
−Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы
+Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем
+\begin{gather*}
+C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
+C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
+C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
+\end{gather*}
+
+Соответственно, для $n$-го конденсатора:
+
$$
−C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1}
+C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
$$
−Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$:
+Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора
$$
−ald+alb=a\pi R^2,
+C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
$$
−откуда
+здесь использовали формулу суммы натуральных чисел:
$$
−b=\frac{\pi R^2-ld}{l}.
+1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
$$
−Подставим это в формулу $(1)$:
+Количество конденсаторов в рулоне примерно равно
$$
−C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld}
+n=\frac{l}{2\pi R}.
$$
−и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$:
+Подставим это в формулу для $C$ и упростим:
$$
−C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
+C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
$$
−При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).
−
−Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.
−
−
−#### Приложение
−
−Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.
−
−![|1292x790, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-20 070225.png)
−
−Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд. Для поднятия ряда из знаменателя используем геометрический ряд $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$
−
−![|1867x1095, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-20 070503.png)
−
−![|1868x826, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-20 070531.png)
−
−![|1863x1018, 100%](../../img/6.4.8/Снимок экрана 2026-02-20 070557.png)
+Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала).
#### Литература
unchanged lines 16