| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | | $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1]. | | Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1]. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче). | | Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче). |
| | | |
| Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]). | | Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]). |
| | | |
| - Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками. | | - Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками. |
| | | |
| - Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками. | | - Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками. |
| | | |
| Начнем с вычисления емкости $C_1$. | | Начнем с вычисления емкости $C_1$. |
| | | |
| Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость | | Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1} | | dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона: | | Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dn=\frac{dr}{d+b}. | | dn=\frac{dr}{d+b}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим | | Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=\frac{r}{d}. | | x=\frac{r}{d}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После этих замен интегрирование $(1)$ дает: | | После этих замен интегрирование $(1)$ дает: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}. | | C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.) | | (Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.) |
| | | |
| Таким образом, нужно найти интеграл | | Таким образом, нужно найти интеграл |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2} | | \boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.) | | (Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.) |
| | | |
| Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию | | Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)} | | f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма: | | к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}. | | f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.) | | (На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.) |
| | | |
| Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии | | Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3} | | \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$: | | Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)} | | f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и используем разложение $(3)$: | | и используем разложение $(3)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right) | | f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и далее | | и далее |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots | | f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так как $x=1/u$, то | | Так как $x=1/u$, то |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots | | f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная: | | Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots | | F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$ | | По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I=F(X)-F(1), | | I=F(X)-F(1), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где | | где |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots | | F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots | | F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$: | | Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right) | | F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right) | | F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем | | Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}. | | I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отсюда пока получаем | | Отсюда пока получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}. | | C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать | | Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}. | | C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Итак, емкость рулона | | Итак, емкость рулона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=C_1+C_2, | | C=C_1+C_2, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| значит: | | значит: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4} | | C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из геометрии рулона | | Из геометрии рулона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| b=\frac{\pi R^2-ld}{l} | | b=\frac{\pi R^2-ld}{l} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \pi R^2=l(d+b). | | \pi R^2=l(d+b). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ | | Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | | C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель. | | Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель. |
| | | |
| | | |
| Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора. | | Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора. |
| | | |
| Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов. | | Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов. |
| | | |
| У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | | У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. |
| | | |
| | | |
| #### Приложение | | #### Приложение |
| | | |
| На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$ | | На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| не отличается от линейной $f(x)=x$. | | не отличается от линейной $f(x)=x$. |
| | | |
| Так что значение интеграла $(2)$ | | Так что значение интеграла $(2)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}. | | I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Дальнейшее совпадает с основным решением. | | Дальнейшее совпадает с основным решением. |
| | | |
| | | |
| #### Альтернативное решение | | #### Альтернативное решение |
| | | |
| Радиус $R$ рулона считаем внешним, рулон сплошной. Емкость рулона складывается из емкости $C_1$ цилиндрических конденсаторов толщины $d$ и емкости $C_2$ цилиндрических конденсаторов толщины $b$, где $b$ есть отступ между слоями толщиной $d$, так как пластины не должные соприкасаться (в эквивалентной схеме все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно [2]) | | Радиус $R$ рулона считаем внешним, рулон сплошной. Емкость рулона складывается из емкости $C_1$ цилиндрических конденсаторов толщины $d$ и емкости $C_2$ цилиндрических конденсаторов толщины $b$, где $b$ есть отступ между слоями толщиной $d$, так как пластины не должные соприкасаться (в эквивалентной схеме все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно [2]) |
| | | |
| Начинаем с емкости $C_1$. | | Начинаем с емкости $C_1$. |
| | | |
| Выберем произвольный $i$-ый по счету от оси цилиндрический конденсатор толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона и запишем для него (см. решение задачи 6.4.7): | | Выберем произвольный $i$-ый по счету от оси цилиндрический конденсатор толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона и запишем для него (см. решение задачи 6.4.7): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)} | | C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| или с учетом $r=i(d+b)$ | | или с учетом $r=i(d+b)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)}. | | C_{1i}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Следовательно, сумма всех дает первую часть емкости рулона | | Следовательно, сумма всех дает первую часть емкости рулона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C_1=2\pi\varepsilon_0a\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)}, | | C_1=2\pi\varepsilon_0a\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)}, |
| $$ | | $$ |
